Signature volatility models

To capture the stylized facts of the equity market without assuming a specific dynamics for the volatility, we employ the concept of signature to construct a stochastic volatility model. In signature volatility models, the dynamics of the volatility are given by a possibly infinite linear combination of the elements of the time extended signature of a primary underlying process, which is supposed to be a continuous semimartingale. Thanks to the properties of the path signatures, this family of models naturally incorporates the path dependence observed in volatility while providing a universal and flexible framework. In the literature, two main types of signature volatility models have been proposed, differing in the choice of the primary process: one approach relies on a Brownian motion, while the other utilizes a general polynomial process. We analyze both approaches, comparing their option pricing methodologies and calibration performances to identify the components necessary for achieving a good fit with market data. Finally, we introduce the Skew Stickiness Ratio, a dynamic property of stochastic volatility models, and compute it in the context of signature volatility models, obtaining a semi-explicit integral formula in terms of the characteristic function.

Per descrivere i fatti stilizzati del mercato equity senza supporre una dinamica specifica per la volatilità, utilizziamo il concetto di signature per costruire un modello a volatilità stocastica. Nei modelli a volatilità signature, la dinamica della volatilità è data una combinazione lineare, potenzialmente infinita, degli elementi della signature (estesa nel tempo) di un processo primario sottostante, ipotizzato essere una semimartingala continua. Grazie alle proprietà delle signature, questa famiglia di modelli include naturalmente la dipendenza dalla traiettoria osservata della volatilità, offrendo al contempo una struttura universale e flessibile. Nella letteratura sono stati proposti due tipi di modelli a volatilità signature, che si differenziano per la scelta del processo primario: un approccio si basa su un moto browniano, mentre l’altro utilizza un generico processo polinomiale. Analizziamo entrambi gli approcci, confrontando le loro metodologie per prezzare opzioni e le loro performance nelle calibrazioni, per identificare le componenti necessarie per ottenere una buona corrispondenza con i dati di mercato. Infine, introduciamo lo Skew Stickiness Ratio, una proprietà dinamica dei modelli a volatilità stocastica, e lo calcoliamo nel contesto dei modelli a volatilità signature, ottenendo una formula integrale semi-esplicita in termini della funzione caratteristica.