Optimal strategy by managing reinsurance and investment

This thesis explores the theoretical aspects of the application of stochastic optimal control problems to reinsurance and investment strategies within a diffusion model framework. The study begins by establishing the fundamental concepts of probability theory and stochastic differential equations. The theory presented so far is necessary to then delve into the formulation of stochastic optimization problems, describing the role of the Hamilton-Jacobi-Bellman equation to obtain optimal reinsurance-investment strategy and its value function as a classical solution under certain conditions. For situations in which they are not met, we examine the concept of viscosity solutions for a partial differential equation. Once these theoretical concepts are acquired, we can delve into the modeling of reinsurance-investment strategies in two different reinsurance models, proportional and excess-of-loss, or with different targets of value function, depending on whether we prefer to maximize expected utility of the wealth at maturity or minimize the risk of ruin. We also dedicate a section to the analysis of the impact of Value-at-Risk constraints. Throughout the thesis, we pay particular attention to the numerical analysis of the sensitivity of the solutions with respect to the model parameters, in order to validate our theoretical findings across various scenarios.

Questa tesi esplora gli aspetti teorici dell'applicazione dei problemi di controllo ottimo stocastico alle strategie di riassicurazione e investimento all'interno di un contesto di modelli di diffusione. Lo studio inizia stabilendo i concetti fondamentali della teoria della probabilità e delle equazioni differenziali stocastiche. La teoria presentata finora è necessaria per approfondire la formulazione dei problemi di ottimizzazione stocastica, descrivendo il ruolo dell'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman per ottenere la strategia ottima di riassicurazione-investimento e la sua funzione valore associata come soluzione classica sotto determinate condizioni. Per situazioni in cui queste condizioni non sono soddisfatte, esaminiamo il concetto di soluzione viscosa per una equazione alle derivate parziali. Una volta acquisiti questi concetti teorici, possiamo approfondire la modellizzazione delle strategie di riassicurazione-investimento in due diversi modelli di riassicurazione, proporzionale ed eccesso di perdita, o con diversi obiettivi della funzione valore, a seconda che si preferisca massimizzare l'utilità attesa della ricchezza alla scadenza o minimizzare il rischio di rovina. Dedichiamo inoltre una sezione all'analisi dell'impatto dei vincoli di Value-at-Risk. Nel corso della tesi, prestiamo particolare attenzione all'analisi numerica della sensibilità delle soluzioni rispetto ai parametri del modello, al fine di convalidare i nostri risultati teorici in diversi scenari.