Implicit time optimization in indirect low-thrust fuel and energy optimal trajectories: a closed-form approach

Low-thrust propulsion has emerged in recent decades as a promising strategy for a diverse range of mission applications. The evaluation of optimal trajectories in the context of continuous low-thrust guidance is particularly crucial, demanding robust and reliable methods for solution evaluation and continuation. Although various strategies exist for the continuation of time-optimal (TO), and, separately, energy-optimal (EO) and fuel-optimal (FO) solutions, there appears to exist a gap in literature regarding works relating TO solutions to either FO or EO solutions. This dissertation addresses this gap by developing a closed-form relationship connecting TO solutions to FO and EO solutions that implicitly optimize time. Using the M-ARGO mission as a case study, a comprehensive analysis of existing formulations is conducted to identify a suitable relationship and its applicability conditions. The results show that, regardless of the problem formulation, a set of analytical requirements governing the indirect formulation, specifically the Euler-Lagrange equations and shooting function, must be met to allow for the existence, throughout the entire trajectory, of a closed-form relationship between the costate paths of solutions. Specifically, it is found that, starting from TO solutions, the optimal FO and EO costate paths of solutions that implicitly optimize time can be obtained simply by scaling the TO costate path, achieving optimality without altering the trajectory. These analytical hypotheses are supported by numerical experiments obtained using solar electric propulsion (SEP) with variable propulsive parameters in two-body problem (2BP) dynamics, and with constant propulsive parameters in both 2BP and circular restricted three-body problem (CR3BP) dynamics.

La propulsione a bassa spinta è emersa negli ultimi decenni come una strategia promettente per un'ampia gamma di applicazioni di missione. La valutazione delle traiettorie ottimali nel contesto della guida continua a bassa spinta è particolarmente cruciale, richiedendo metodi robusti e affidabili per l'analisi e la continuazione delle soluzioni. Sebbene esistano diverse strategie per la continuazione delle soluzioni che ottimizzano tempo (TO) e, separatamente, delle soluzioni che ottimizzano energia (EO) e carburante (FO), sembra esistere una lacuna nella letteratura per quanto riguarda lavori che mettono in relazione le soluzioni TO con quelle FO o EO. Questa dissertazione affronta questa lacuna sviluppando una relazione in forma chiusa che collega le soluzioni TO a soluzioni FO ed EO che ottimizzano implicitamente il tempo. Utilizzando la missione M-ARGO come caso studio, viene condotta un'analisi completa delle formulazioni esistenti per identificare una possibile relazione e le condizioni per la sua applicabilità. I risultati ottenuti dimostrano che, indipendentemente dalla formulazione del problema, un set di requisiti analitici che governano la formulazione indiretta, nello specifico le equazioni di Eulero-Lagrange e la funzione di shooting, deve essere soddisfatto affinché esista, lungo l'intera traiettoria, una relazione in forma chiusa tra i percorsi dei costati delle soluzioni. In particolare, si dimostra che, partendo dalle soluzioni TO, i percorsi ottimali dei costati per le soluzioni FO ed EO che ottimizzano implicitamente il tempo possono essere ottenuti semplicemente scalando il percorso dei costati della soluzione TO, raggiungendo l'ottimalità senza modificare la traiettoria. Queste ipotesi analitiche sono supportate da esperimenti numerici ottenuti utilizzano la propulsione elettrica solare (SEP) con parametri propulsivi variabili in una dinamica a due corpi (2BP), e con parametri propulsivi costanti sia nella dinamica 2BP che nella dinamica del problema dei tre corpi ristretto circolare (CR3BP).