Relationships between Hilbert schemes and critical loci in algebraic vision

In computer vision, the reconstruction of a three-dimensional scene from a setup of n−views, with n ≥ 2, can be subject to an ambiguity when the cameras and the scene points belong to certain algebraic sets, called critical loci. It is known that, among the possible critical loci for 3–views, there are configurations of 7 points, that are general with respect to the Hilbert function. In this thesis, we construct a suitable parameter space for the critical loci for 3–views, that rests on the Grassmann variety Grass(4, 9) and on some projective spaces of matrices. Moreover, using known results, we compute the open stratum of the Hilbert scheme Hilb_7(P^3). In a natural way, we put in relation the two parameter spaces, and this allows us to prove that the subset of the Hilbert scheme parameterizing 0–dimensional schemes of degree 7 that are contained in critical loci for 3–views is an algebraic set.

Nella computer vision, la ricostruzione di una scena tridimensionale a partire da una configurazione di n camere, con n ≥ 2, può essere soggetta a un’ambiguità quando le camere e i punti della scena appartengono a determinati insiemi algebrici, chiamati luoghi critici. È noto che, tra i possibili luoghi critici per 3 camere, esistono configurazioni di 7 punti che sono generali rispetto alla funzione di Hilbert. In questa tesi, costruiamo uno spazio dei parametri adatto allo studio dei luoghi critici per 3 camere, che si basa sulla varietà di Grassmann Grass(4,9) e su alcuni spazi proiettivi di matrici. Inoltre, utilizzando risultati noti, calcoliamo lo strato aperto dello schema di Hilbert Hilb_7(P^3). In modo naturale, mettiamo in relazione i due spazi dei parametri, e questo ci permette di dimostrare che il sottoinsieme dello schema di Hilbert che parametrizza schemi di grado 7 e dimensione 0 contenuti nei luoghi critici per 3 camere è un insieme algebrico.