Numerical approach of crack propagation based on the virtual element method and the configurational force theory

One of the main difficulties involved in the Finite Element (FE) simulation of crack propagation is the treatment of the evolving displacement discontinuity in an existing FE mesh, which makes the accurate and effective simulation of crack propagation still a challenge in computational fracture mechanics. The recently proposed Virtual Element Method (VEM) allows to extend the Finite Element Method (FEM) to the use of polygonal and polyhedral elements of distorted shapes. The possibility offered by the VEM to define elements of arbitrary shape without accuracy loss allows for runtime local modifications of the mesh, with the addition and/or removal of edges and nodes, or by splitting one element into two or more elements, with minimal effort. These features are ideal for incorporating a propagating crack into an existing mesh without the need to pay a high computational cost. The material configurational force represents the driving force of the variation of the configuration containing cracks and can effectively predict the crack propagation path as a fracture criterion. Therefore, the advantages of the VEM and the material configurational force are combined in this thesis to investigate the crack propagation and fatigue problem, where the self-stabilized VEM is established starting from the three-field Hu-Washizu variation. The main issues are as follows: (1) A two-dimensional crack propagation model is proposed by the VEM combined with the cohesive zone model. The supercovergent recovery method and Airy stress function are overall combined to smooth the stress field at the crack tip and an accurate evaluation of stress is obtained. The virtual element split strategy is proposed to generate the newly propagating crack surface at the element, where four different cases of new crack tip locations are considered and dealt with. According to the algorithm of cohesive crack propagation simulation, numerical examples are applied to verify the performance of the proposed cohesive crack model based on the VEM. (2) A comprehensive strategy for the simulation of mixed-mode cohesive crack propagation in a mesh of originally self-stabilized virtual elements (VEs) is proposed. Exploiting the VEs substantial insensitivity to mesh distortion, the propagating cohesive crack is accommodated within existing self-stabilized first-order quadrilateral VEs by simply adding new edges separated by a cohesive interface. The added edges make however the VE unstable, and a new procedure for the stabilization of initially stable VE is developed. The method is formulated within a recently proposed Hu-Washizu variational framework, allowing for higher-order, independent modeling of stresses. In this way, a more accurate estimate of the stress at the tip of the cohesive process zone can be achieved, allowing for a more accurate assessment of crack propagation conditions and direction. The proposed method is validated by application to several benchmark problems. (3) The brittle crack propagation model has been proposed based on the VEM and the material configurational force Jk-integral. The material configurational force Jk-integral fracture criterion has been employed to determine the crack initiation and predict the crack propagation direction for mixed-mode loading conditions. The Jk-integral is obtained directly by the path integral rather than by the domain integral based on the VEM, and its conservation has been verified. An arbitrary crack propagation path has been achieved by the virtual element split strategy during the crack propagation process, where the local mesh is modified by adding or deleting vertices and/or edges and by splitting one element into two polygons. Some numerical applications have been implemented. The numerical results show good agreement with the experiments, which verify the performance of the proposed model for the simulation of brittle crack propagation. (4) A nonlinear fatigue damage accumulation model based on the material configurational force is developed to explore the fatigue damage mechanism of materials under different amplitude loading conditions, where the material configurational force is introduced as an internal variable to describe fatigue damage accumulation. The material configurational force is defined at the material space and directly associated with the evolution of material configuration, whose relation with the stress state is derived. Furthermore, the damage increases with every loading cycle, i.e., the damage rate, dependent on the stress state and damage state variable, is delivered by a function of material configurational force and damage state variable. The numerical validation of the proposed nonlinear fatigue damage accumulation model has been carried out through two notched structures to describe the fatigue damage evolution and predict the fatigue life of materials. The results are consistent with previous experimental data, verifying the effectiveness of the material configurational force describing the fatigue damage. (5) A mixed-mode fatigue crack growth model is proposed based on the VEM and the configurational force Jk-integral. The virtual element split strategy is combined to process the virtual elements and mesh in time, taking full advantage of the VEM feature that greatly facilitates addressing the crack propagation problem. The configurational force Jk-integral is adopted to predict the fatigue crack propagation and crack deflection, and the fatigue crack growth rate is determined by the equivalent range of the Jk-integral. The numerical applications are performed according to the mixed-mode fatigue crack model based on the VEM. The fatigue crack propagation rate computed numerically shows good agreement with the experimental results. Additionally, the fatigue crack propagation paths predicted by the proposed model are consistent with the experimental results, which validates the good performance of the proposed model.

Una delle principali difficoltà nella simulazione agli Elementi Finiti (FE) della propagazione di fratture è la modellazione della discontinuità di spostamento che evolve all'interno di una mesh di EF esistente, il che rende ancora oggi la simulazione accurata ed efficace della propagazione di frattura una sfida nella meccanica computazionale. Il Metodo degli Elementi Virtuali (Virtual Element Method - VEM) recentemente proposto consente di estendere il Metodo degli Elementi Finiti (FEM) all’utilizzo di elementi poligonali e poliedrici di forma distorta. La possibilità offerta dal VEM di definire elementi di forma arbitraria senza perdita di accuratezza consente modifiche locali della mesh in tempo reale, tramite aggiunta e/o rimozione di spigoli e nodi, oppure suddividendo un elemento in due o più elementi, con sforzo computazionale minimo. Queste caratteristiche sono ideali per incorporare una frattura che propaga in una mesh esistente senza elevati costi computazionali. La forza configurazionale materiale rappresenta la forza motrice che promuove la variazione della configurazione contenente una frattura e può fornire un criterio efficace per prevedere il percorso di propagazione della frattura. Pertanto, in questa tesi vengono combinati i vantaggi del VEM e della forza configurazionale materiale per indagare il problema della propagazione di fratture e della stima della vita a fatica, dove il VEM auto-stabilizzato è costruito a partire dalla formulazione variazionale di Hu-Washizu a tre campi. Le principali problematiche affrontate sono le seguenti: (1) È stato proposto un modello bidimensionale di propagazione di una frattura coesiva tramite VEM. Il cosiddetto ‘superconvergent patch recovery method’ e la funzione potenziale delle tensioni di Airy sono stati utilizzati congiuntamente per regolarizzare il campo di tensione in corrispondenza dell’apice della frattura e ottenere una valutazione accurata delle tensioni. È stata proposta una strategia di suddivisione dell’elemento virtuale per consentire alla frattura di propagare all’interno dell’elemento, considerando e gestendo quattro diversi casi di posizionamento dell’apice della cricca. L’algoritmo di simulazione della propagazione coesiva della frattura è stato utilizzato in rari esempi numerici per verificare le prestazioni del modello proposto basato sul VEM. (2) È stata proposta una strategia per la simulazione della propagazione in modo misto di una frattura coesiva in una mesh composta da elementi virtuali (VE) originariamente auto-stabilizzati. Sfruttando l’insensibilità dei VE alla distorsione della mesh, la propagazione della cricca coesiva è gestita all’interno di VE quadrilateri di primo ordine auto-stabilizzati, mediante semplice aggiunta di nuovi spigoli separati da un’interfaccia coesiva. Tuttavia, tali aggiunte rendono il VE instabile, ed è stata sviluppata una nuova procedura per la stabilizzazione dei VE inizialmente stabili. Il metodo è formulato nel contesto della recente formulazione variazionale di Hu-Washizu, che consente una modellazione indipendente e di ordine superiore delle tensioni. Ciò permette una stima più accurata delle tensioni all’apice della zona di processo coesivo, migliorando la valutazione delle condizioni e della direzione di propagazione della frattura. Il metodo è stato validato mediante applicazione a diversi problemi di riferimento. (3) È stato proposto un modello di propagazione fragile di frattura basato sul VEM e sul Jk-integral della forza configurazionale materiale. Il criterio di frattura basato sul Jk-integral è stato impiegato per determinare l’innesco della frattura e prevedere la sua direzione di propagazione in condizioni di carico misto. Il Jk-integral è calcolato direttamente tramite integrale di linea, basandosi sul VEM, e non tramite un integrale di dominio e ne è stata verificata la conservazione. Un percorso arbitrario di propagazione della frattura è stato ottenuto mediante la strategia di suddivisione dei VE, in cui la mesh locale viene modificata tramite aggiunta o rimozione di vertici e/o spigoli e mediante suddivisione di un elemento in due poligoni. Sono state considerate varie applicazioni numeriche. I risultati numerici mostrano buona concordanza con i dati sperimentali, verificando la validità del modello proposto nella simulazione della propagazione fragile della cricca. (4) È stato sviluppato un modello non lineare di accumulo del danno da fatica basato sulla forza configurazionale materiale per esplorare il meccanismo di evoluzione del danno da fatica in presenza di carichi a diversa ampiezza, in cui la forza configurazionale materiale è introdotta come variabile interna per descrivere l’accumulo del danno da fatica. La forza configurazionale è definita nella configurazione materiale e direttamente associata all’evoluzione della configurazione del materiale, e ne è stata derivata la relazione con lo stato di tensione. Inoltre, il danno cresce ad ogni ciclo di carico, cioè il tasso di danno, dipendente dallo stato di tensione e dalla variabile di danno, è descritto mediante una funzione della forza configurazionale e della variabile di stato del danno. La validazione numerica del modello proposto è stata effettuata su due provini intagliati per descrivere l’evoluzione del danno da fatica e prevedere la vita a fatica del materiale. I risultati sono coerenti con dati sperimentali precedenti, confermando l’efficacia della forza configurazionale del materiale nel descrivere il danno da fatica. (5) È stato proposto un modello di crescita della frattura in modo misto dovuta a fatica basato sul VEM e sul Jk-integral della forza configurazionale. La strategia di suddivisione dei VE è concepita per gestire in tempo reale elementi virtuali e mesh, sfruttando pienamente le caratteristiche del VEM che facilitano notevolmente l’analisi della propagazione della cricca. Il Jk-integral della forza configurazionale è impiegato per prevedere la propagazione e la direzione della frattura per fatica, e la velocità di crescita è determinata dal corrispondente incremento del Jk-integral. Sono state eseguite applicazioni numeriche con il modello proposto. La velocità di propagazione numericamente calcolata mostra buona concordanza con i risultati sperimentali. Inoltre, i percorsi di propagazione della frattura da fatica previsti dal modello sono coerenti con i dati sperimentali, confermandone l’efficacia e l’accuratezza.