Variational data assimilation for porous shallow water equations

This thesis has been carried out at the Inria branch in Montpellier within the LEMON team, an interdisciplinary team working on the design and implementation of accurate and computationally inexpensive models for natural processes occurring in the littoral area. Urban-scale flood models are increasingly being studied in the context of risk prevention, and, to this end, for several years the LEMON team has been developing the so-called porosity models for the shallow water equations to provide rapid, large-scale simulations of these phenomena. Porous shallow water equations extend the classical shallow water model by introducing porosity to represent subgrid-scale effects caused by obstacles such as buildings and vegetation in floodplains. This work explores the use of variational data assimilation to improve the knowledge on the spatial distribution of porosity, and, ultimately, to increase accuracy in the prediction of the flood flow. Variational data assimilation is implemented using a gradient descent optimization approach, which efficiently computes the gradient through the adjoint problem. We present both the forward and adjoint formulations, along with their one-dimensional numerical solvers. Numerical experiments demonstrate the effectiveness of this approach for improving porosity estimation. We emphasize the importance of addressing the well-posedness of the assimilation problem to ensure reliable results.

Questa tesi è stata svolta presso il centro di ricerca Inria di Montpellier all'interno del team LEMON, un team interdisciplinare che che si occupa di sviluppare modelli accurati e computazionalmente poco costosi per i processi naturali che si verificano nell'area litoranea. I modelli di alluvione su scala urbana sono sempre più studiati nel contesto della prevenzione del rischio, a tal fine, da diversi anni, il team LEMON sviluppa i cosiddetti modelli di porosità per le equazioni delle acque poco profonde, per fornire simulazioni rapide e su larga scala di questi fenomeni. Le equazioni porose per le acque poco profonde estendono il modello classico introducendo la porosità per rappresentare gli effetti a scala sotto-griglia causati da ostacoli come edifici e vegetazione nelle pianure alluvionali. Questo lavoro esplora l'uso dell'assimilazione variazionale dei dati per migliorare la stima della distribuzione spaziale della porosità e, di conseguenza, migliorare l'accuratezza nella previsione del flusso di piena. L'assimilazione variazionale dei dati viene implementata utilizzando un algoritmo di ottimizzazione basato sulla discesa del gradiente. Tale gradiente viene calcolato in modo efficiente attraverso il problema aggiunto. Presentiamo sia la formulazione diretta che quella aggiunta, insieme ai rispettivi risolutori numerici unidimensionali. Gli esperimenti numerici dimostrano l'efficacia di questo approccio per migliorare la stima della porosità. Sottolineiamo l'importanza di affrontare la buona posizione del problema di assimilazione per garantire risultati affidabili.