Relative Zeta function and Casimir energy for a scalar field interacting with point-like obstacles

Quantum vacuum fluctuations are responsible for several interesting physical phenomena. Prominent examples of this kind are the so-called dispersion forces arising between neutral molecules and atoms. The Casimir effect is an experimentally confirmed manifestation of these purely quantum forces in a regime where a macroscopic number of atoms is involved and relativistic corrections become appreciable. The prototypical analysis of this effect makes reference to the vacuum state of the electromagnetic field confined between two perfectly conducting, neutral parallel plates, predicting the occurrence of an attractive force between them. This kind of phenomena can be ascribed to a modification of the vacuum state of a relativistic quantum field induced by classical backgrounds, including perfectly reflecting surfaces or external confining potentials. While highlighting a deep connection with the geometry of the problem, this approach requires dealing with ultraviolet divergences that must be properly renormalized to get a sensible result. The purpose of this thesis is to study the vacuum energy for a massless scalar field in presence of several point-like obstacles. The required renormalization of UV divergences is attained by means of the relative Zeta-function scheme, a variant of the well-known Hawking's technique originally proposed by Werner Muller. The first two chapters of the thesis review the general theory of the Zeta regularization method and the rigorous mathematical description of delta-like potentials concentrated on a set of points in R^3. In the third chapter, it is derived an expression for the vacuum energy of the system, which is subsequently employed to make some considerations about the resulting Casimir force.

Le fluttuazioni quantistiche sono responsabili di molti fenomeni interessanti. Un importante esempio di questo tipo sono le cosiddette forze di dispersione tra atomi e molecole a carica neutra. L'effetto Casimir è una manifestazione, confermata sperimentalmente, di queste forze puramente quantistiche in un sistema composto da un numero macroscopico di atomi, dove le correzioni relativistiche diventano apprezzabili. La configurazione tipica in cui viene studiato questo effetto riguarda lo stato di vuoto del campo elettromagnetico confinato tra due lastre parallele neutre, modellizzate come conduttori perfetti, e prevede la manifestazione di una forza attrattiva tra le lastre. Questo tipo di fenomeni possono essere attribuiti ad una polarizzazione dello stato di vuoto di un campo quantistico relativistico causata da background classici, quali superfici perfettamente riflettenti o potenziali esterni confinanti. Questa impostazione sottolinea una profonda connessione con la geometria del problema, ma comporta l'insorgere di divergenze ultraviolette che devono essere opportunamente regolarizzate per ottenere un risultato sensato. L'obiettivo di questa tesi è lo studio dell'energia di vuoto relativa a un campo scalare privo di massa, in presenza di ostacoli puntiformi. La rinormalizzazione delle divergenze ultraviolette è ottenuta seguendo il metodo associato alla funzione Zeta relativa a una coppia di operatori, una variante inizialmente proposta da Werner Muller del metodo reso celebre in questo contesto da Stephen Hawking. I primi due capitoli della tesi presentano il metodo della regolarizzatione Zeta e la descrizione matematica dei potenziali a delta di Dirac concentrati su un insieme di punti in R^3. Nel terzo capitolo viene ricavata un'espressione esplicita per l'energia di vuoto del sistema, la quale viene succesivamente utilizzata per fare alcune considerazioni sulla forza di Casimir.