Machine learning-enhanced algebraic multigrid methods for virtual element discretizations

This thesis extends recent work, which demonstrated the successful application of machine learning techniques to optimize Algebraic Multigrid (AMG) performance for Finite Element Method (FEM) discretizations. Specifically, we adapt their approach of using Artificial Neural Networks to predict the optimal strong connection parameter—a critical threshold that governs the construction of the AMG hierarchy—to minimize the average convergence factor of the resulting iterative scheme. While the previous work achieved strong results for FEM with traditional triangular meshes, we explore the application of these techniques to the Virtual Element Method (VEM), a more flexible numerical approach that supports arbitrary polyhedral meshes. The thesis focuses on developing a convolutional neural network capable of predicting optimal AMG parameters across various mesh types, including triangular, quadrilateral, hexagonal, and Voronoi meshes. This requirement for broader generalization represents a notable difference from the FEM case, where geometric variability of the mesh is not present. Through extensive numerical experiments and validation on two-dimensional diffusion problems with heterogeneous diffusion coefficients, we demonstrate that our model can achieve reasonable prediction accuracy across different mesh types. These results suggest the potential viability of machine learning approaches for optimizing numerical solvers, contributing to the broader goal of accelerating scientific computing through computational learning approaches.

Questa tesi estende lavori recenti che hanno dimostrato come le tecniche di machine learning possano essere applicate con successo per ottimizzare le prestazioni dell'Algebraic Multigrid (AMG) in presenza di discretizzazioni ottenute con il Metodo degli Elementi Finiti (FEM). In particolare, adattiamo un approccio basato su Reti Neurali Artificiali per prevedere il parametro ottimale di connessione forte, una soglia critica che regola la costruzione della gerarchia AMG, al fine di minimizzare il fattore medio di convergenza dello schema iterativo risultante. Mentre studi precedenti hanno ottenuto risultati significativi per il FEM su mesh triangolari tradizionali, in questo lavoro esploriamo l'applicazione di tali tecniche al Metodo degli Elementi Virtuali (VEM), un approccio numerico più flessibile che supporta mesh poliedriche arbitrarie. La nostra ricerca si concentra sullo sviluppo di una rete neurale convoluzionale in grado di prevedere parametri AMG ottimali per diversi tipi di mesh, tra cui triangolari, quadrangolari, esagonali e di Voronoi. Questa esigenza di una generalizzazione più ampia rappresenta una differenza rilevante rispetto al caso FEM, caratterizzato da una struttura di mesh più uniforme. Questa tesi estende un lavoro recente che ha dimostrato l'applicazione di successo di tecniche di apprendimento automatico per ottimizzare le prestazioni del Multigrid Algebrico (AMG) per discretizzazioni con il Metodo degli Elementi Finiti (FEM). Nello specifico, adattiamo il loro approccio che utilizza Reti Neurali Artificiali per predire il parametro ottimale di connessione forte — una soglia critica che governa la costruzione della gerarchia AMG — al fine di minimizzare il fattore di convergenza medio dello schema iterativo risultante. Mentre il lavoro precedente ha ottenuto ottimi risultati per il FEM con mesh triangolari tradizionali, esploriamo l'applicazione di queste tecniche al Metodo degli Elementi Virtuali (VEM), un approccio numerico più flessibile che supporta mesh poliedriche arbitrarie. La tesi si concentra sullo sviluppo di una rete neurale convoluzionale in grado di predire i parametri AMG ottimali per vari tipi di mesh, tra cui triangolari, quadrilaterali, esagonali e di Voronoi. Questo requisito di una più ampia generalizzazione rappresenta una notevole differenza rispetto al caso FEM, in cui la variabilità geometrica della mesh non è presente. Attraverso ampi esperimenti numerici e validazione su problemi di diffusione bidimensionali con coefficienti di diffusione eterogenei, dimostriamo che il nostro modello può raggiungere un'accuratezza di previsione ragionevole su diversi tipi di mesh. Questi risultati suggeriscono la potenziale fattibilità degli approcci di apprendimento automatico per l'ottimizzazione dei risolutori numerici, contribuendo all'obiettivo più ampio di accelerare il calcolo scientifico attraverso approcci di apprendimento computazionale.