Positivity-preserving numerical schemes for a two cell populations model

In recent years, mathematical modelling applied to the oncology field has gained significant importance. In particular, the use of digital twins has emerged. They integrate mathematical and computational models to predict outcomes. They combine data-driven and knowledge-driven components. The latter consists of systems of ordinary differential equations and partial differential equations. In this context, the contribution of this thesis is designing efficient numerical schemes to simulate a tumor progression model: the two cell populations model. We present a new structure-preserving, accurate, and efficient method, called the transform method, and we adapt an already existing method, the projected Newton-Krylov method, mixed with projected gradient direction, to our case. Both methods address the issue of oscillations that arise when using the finite element method on nonlinear systems and overcome it. We apply the transform method to an already existing one dimensional two cell populations model. By testing the model with different coefficient values, we are able to capture characteristic patterns, which have been previously observed using a finite volume scheme. We then consider the two-dimensional two cell populations model and show, using a projected Newton-Krylov method combined with a projected gradient direction, the well-known emergence of fingering when the initial condition includes a perturbation with specific parameters.

Negli ultimi anni, la modellazione matematica applicata all'oncologia sta acquisendo un'importanza sempre maggiore. In particolare, hanno iniziato a trovare applicazione i gemelli digitali, che integrano modelli matematici e computazionali per fare previsioni, combinando una componente data-driven e una meccanicistica. Quest'ultima consiste in sistemi di equazioni differenziali ordinarie ed equazioni alle derivate parziali. In questo contesto, il contributo di questa tesi è la progettazione di schemi numerici efficienti per simulare un modello di progresso tumorale: il modello a due popolazioni cellulari. Presentiamo un nuovo metodo che preserva la positività della soluzione, chiamato metodo di trasformazione e adattiamo un metodo implementato in precedenza, il metodo di Newton-Krylov proiettato, combinato con una direzione di gradiente proiettata, al nostro caso. Entrambi gli approcci affrontano il problema delle oscillazioni che sorgono quando si utilizza il metodo degli elementi finiti su sistemi non lineari e lo risolvono. Applichiamo il metodo di trasformazione a una versione unidimensionale già esistente del modello a due popolazioni. Testando il modello con diversi valori dei coefficienti, siamo in grado di catturare comportamenti particolari, già osservati in precedenza utilizzando uno schema a volumi finiti. Mostriamo come, tramite il metodo di Newton-Krylov proiettato, combinato con una direzione di gradiente proiettata, emerga la ben nota instabilità in presenza di specifiche perturbazioni iniziali.