Hydrodynamic stability of shear flows close to Couette: enhanced dissipation and singular integral operators

In this Master thesis we study the hydrodynamical stability problem of perturbations to shear flows close to Couette in the context of two-dimensional Navier-Stokes equations with Navier boundary conditions. Our analysis focuses on the interplay between two key linear mechanisms: inviscid damping, a decay of the velocity field driven by mixing, and enhanced dissipation, a phenomenon in which advection amplifies the effect of dissipation, accelerating the decay of perturbations. We begin by examining the linearized dynamics around the Couette flow, where explicit solutions allow for a detailed understanding of these effects. To extend the analysis to cases where an explicit solution is not available, we introduce the method of hypocoercivity, which is able to extract decay estimates by constructing suitable energy functionals tailored to the interplay of transport and diffusion. Then we follow a recent contribution of Bedrossian, He, Iyer, and Wang, who developed a framework for enhanced dissipation in bounded domains using a specially constructed Singular Integral Operator within the hypocoercivity method. Building on their approach, we propose a variation of the Singular integral operator and demonstrate that it preserves the essential properties to obtain exponential decay estimates in the linear regime. The modified operator also offers a more transparent connection between the underlying physical mechanisms and the mathematical structure of the problem.

In questa Tesi, studiamo un problema di stabilità idrodinamica di perturbazioni di flussi di taglio vicine al profilo di Couette nel contesto di equazioni di Navier Stokes bidimensionali con condizioni al bordo di tipo Navier. La nostra analisi si concentra sull’interazione tra due meccanismi lineari fondamentali: inviscid damping, un decadimento del campo di velocità dovuto al mixing della vorticità, e enhanced dissipation, un meccanismo in cui il trasporto amplifica l’effetto della dissipazione, accelerando il decadimento delle perturbazioni. Cominciamo la nostra analisi esaminando la dinamica lineare attorno al flusso di Couette, per cui la soluzione esplicita permette una comprensione dettagliata di questi effetti. Per estendere la nostra analisi a casi in cui una soluzione esplicita non è disponibile, introduciamo il metodo di ipocoercività, che permette di estrarre stime di decadimento costruendo un funzionale di energia adatto all’interazione fra trasporto e diffusione. Successivamente, seguiamo un recente lavoro di Bedrossian, He, Iyer, and Wang, che sviluppano un quadro teorico per la dissipazione potenziata in domini limitati, utilizzando un operatore integrale singolare costruito ad hoc nel contesto dell’ipocoercività. A partire dal loro approccio, proponiamo una variazione dell’operatore integrale singolare che conserva le proprietà essenziali necessarie per ottenere stime di decadimento esponenziale nel regime lineare. Inoltre, l’operatore modificato offre una connessione più trasparente tra i meccanismi fisici alla base del problema e la sua struttura matematica.