Differential algebra for space situational awareness: improving capabilities of operational cataloguing systems

As the number of space objects increases, the probability of collisions between operational spacecraft and debris rises significantly each year, posing a threat to the security, safety, and sustainability of space activities such as communication, navigation, and Earth observation. Therefore, in the context of space situational awareness, and space surveillance and tracking, having accurate models for propagating the state and the associated uncertainty is of utmost importance. Many methodologies have been proposed, validated, and used over the years (e.g., State Transition Matrix, Unscented Transform, Monte Carlo), although their use in operational environments may face intrinsic limitations. For instance, in linear propagation, the method may suffer from a loss of Gaussianity, especially in high entropy cases or over long propagation times, thus compromising uncertainty realism. Moreover, when tracking large populations, such as those in current space catalogues, these approaches become computationally expensive. This issue is expected to worsen with the rise of satellite constellations. Consequently, faster and more costeffective approaches, like differential algebra, can offer a valid alternative by providing accurate estimates in a shorter time. Propagating initial conditions in the differential algebra framework yields the Taylor expansion of the final state in terms of the initial state perturbations, allowing the propagation of ranges of initial conditions or initial conditions along with their associated uncertainty, providing greater flexibility. This is especially useful for uncertainty propagation, where only a polynomial evaluation is needed to obtain the final state of different cases, rather than requiring a full integration for each initial condition (as with Monte Carlo simulations), significantly speeding up calculations and reducing computational burden. Furthermore, the accuracy of the model depends on the order of the Taylor expansion, enabling a trade-off between accuracy and computational cost. This makes differential algebra a flexible and powerful framework, allowing us to tailor its features based on the specific problem that needs to be solved. The goal of the thesis is to describe the practical benefits of using this approach, particularly focusing on uncertainty propagation in operational cataloguing processes, where the uncertainty of thousands of objects needs to be propagated regularly for catalogue maintenance purposes.

Man mano che il numero di oggetti spaziali aumenta, la probabilità di collisioni tra satelliti operativi e detriti cresce significativamente ogni anno, rappresentando una minaccia per la sicurezza, l’affidabilità e la sostenibilità delle attività spaziali, come le comunicazioni, la navigazione e l’osservazione della Terra. Pertanto, nel contesto della Space Situational Awareness e della Space Surveillance and Tracking, disporre di modelli accurati per la propagazione dello stato e dell’associata incertezza è di fondamentale importanza. Negli anni sono state proposte, validate e utilizzate molte metodologie (ad es. State Transition Matrix, Unscented Transform, Monte Carlo), sebbene il loro impiego in ambienti operativi possa incontrare limitazioni intrinseche. Ad esempio, nella propagazione lineare, il metodo può soffrire di una perdita di Gaussianità, soprattutto nei casi ad alta entropia o in presenza di lunghi periodi di propagazione, compromettendo così il realismo dei risultati dell’incertezza. Inoltre, quando si tracciano popolazioni numerose, come quelle presenti nei cataloghi spaziali attuali, questi approcci diventano computazionalmente onerosi. Si prevede che questo problema peggiori con l’aumento delle costellazioni satellitari. Di conseguenza, approcci più rapidi e convenienti, come l’algebra differenziale, possono offrire una valida alternativa fornendo stime accurate in tempi più brevi. La propagazione delle condizioni iniziali nel contesto dell’algebra differenziale produce l’espansione di Taylor dello stato finale in termini delle perturbazioni dello stato iniziale, consentendo la propagazione di intervalli di condizioni iniziali o di condizioni iniziali con la relativa incertezza associata, garantendo una maggiore flessibilità. Questo è particolarmente utile per la propagazione dell’incertezza, dove è sufficiente una valutazione polinomiale per ottenere lo stato finale dei diversi casi, anziché richiedere un’integrazione completa per ogni condizione iniziale (come in una Monte Carlo), accelerando significativamente i calcoli e riducendo il carico computazionale. Inoltre, l’accuratezza del modello dipende dall’ordine dell’espansione di Taylor, permettendo un compromesso tra precisione e costo computazionale. Questo rende l’algebra differenziale un ambiente flessibile e potente, consentendo di adattarne le caratteristiche in base al problema specifico da risolvere. L’obiettivo della tesi è descrivere i benefici pratici dell’uso di questo approccio, con particolare attenzione alla propagazione dell’incertezza nei processi di catalogazione, in cui l’incertezza di migliaia di oggetti deve essere propagata regolarmente per mantenere aggiornati i cataloghi.