Divergence-free finite elements for the Stokes system with an immersed interface

To solve fluid-structure interaction problems, a recurring issue in unfitted mesh methods is the lack of mass conservation. In the present work, we propose a Fictitious Domain method, using an enriched P1−P0 pair that imposes pointwise null divergence to the solution. The goal is to enhance mass conservation in the presence of an unfitted interface mesh, limiting at the same time the computational cost, to apply it later to real cases. The fluid is modeled with the Stokes equations, where the method has already been proven to be stable and robust. In this thesis, we provide a numerical analysis of two methods used to deal with the presence of the solid: penalization and Lagrange multipliers. Numerical simulations of the two approaches are presented and analyzed, to evaluate their efficiency. While the penalization approach is not robust with respect to the penalization parameter, the Lagrange multipliers method gives us promising results, but a stabilization term is needed to enforce stability.

Per risolvere problemi di interazione fluido-struttura, un ostacolo ricorrente è la mancata conservazione della massa. Nella tesi qui presente, proponiamo un metodo Fictitious Domain, nel quale usiamo una coppia di element finiti P1 − P0 che impone divergenza nulla alla soluzione numerica. L’obiettivo è aumentare la conservazione della massa limitando al tempo stesso il costo computazionale, per poterlo applicare a casi reali. Per modellare il fluido usiamo il sistema di Stokes, per il quale il metodo è già stato dimostrato essere stabile e robusto. Mostriamo l’analisi numerica di due metodi usati per trattare la presenza dell’interfaccia: penalizzazione e i moltiplicatori di Lagrange. Successivamente, presentiamo e analizziamo le simulazioni numeriche dei due metodi, per valutarne l’efficienza. La penalizzazione si rivela essere non robusta rispetto al parametro di penalizzazione, mentre i moltiplicatori di Lagrange danno risultati promettenti: servono tuttavia alcuni accorgimenti per un’adeguata stabilizzazione, in modo da poter incrementare la conservazione della massa all’interfaccia.