Koopman-based modeling for rocket landing

The rocket landing problem has been one of the main interests of the space sector in the last decades and, more recently, the need for a fast and efficient way to solve precisely the guidance problem has emerged as crucial for reusability purposes. In this context, Koopman Operator Theory is promising because of its ability to globally linearize an uncontrolled autonomous system, by lifting the state onto a set of observables. In general, the conditions to include the control in a linear way are quite restrictive, but a bilinear model can be obtained with almost no further approximations. Well-established methods employ a fixed dictionary of observables, but more recent studies show that it is beneficial, in terms of accuracy, to learn a dictionary through neural network optimization. In this work, the atmospheric, fuel-optimal, rocket landing problem is addressed with the aim of assessing if a Koopman model can be used to successfully solve the Optimal Control Problem and if it is computationally advantageous. The main contributions of this thesis are the extension of dictionary learning techniques to include control and the formulation of a new framework to estimate a bilinear control model, after obtaining the equivalent linear modeling of the free dynamics. It is shown that dictionary learning methods provide more accurate linear control models than standard methods. The resulting dynamical model is used to build a Linear Program that can be solved efficiently; on the other hand, when a Koopman bilinear model is used, a solution can be found, but with poor computational efficiency.

Il problema dell’atterraggio dei razzi è stato uno degli interessi principali del settore spaziale negli ultimi decenni e, più recentemente, è emersa come cruciale la necessità di risolvere in modo preciso, veloce ed efficiente il problema di guida, soprattutto in vista della riutilizzabilità degli stessi. In questo contesto, la Teoria degli Operatori di Koopman si rivela promettente per la sua capacità di linearizzare globalmente un sistema autonomo non controllato, utilizzando un insieme di osservabili dello stato. In generale, le ipotesi per includere il controllo in modo lineare sono piuttosto restrittive, ma un modello bilineare può essere costruito senza particolari approssimazioni. Metodi ben consolidati utilizzano un dizionario di osservabili statico, ma studi più recenti mostrano quanto sia utile, in termini di accuratezza, apprendere un dizionario attraverso l’ottimizzazione di una rete neurale. In questo lavoro viene affrontato il problema di atterraggio atmosferico con utilizzo ottimale di combustibile, con l’obiettivo di stabilire se un modello di Koopman possa essere usato per risolvere con successo il Problema di Controllo Ottimo e se possa essere vantaggioso dal punto di vista computazionale. I contributi principali di questa tesi sono l’estensione dei metodi con apprendimento del dizionario a modelli che includano il controllo e la formulazione di una nuova procedura per stimare un modello bilineare con controllo, dopo aver ottenuto l’equivalente modello lineare della dinamica libera. Si dimostra che i metodi con apprendimento del dizionario sono in grado di fornire modelli lineari che includano il controllo con maggiore accuratezza dei metodi tradizionali. Il modello dinamico che ne risulta viene usato per costruire un Programma Lineare che può essere risolto in modo efficiente; d’altra parte, quando viene utilizzato un modello di Koopman bilineare, una soluzione può essere ottenuta, ma con scarsa efficienza computazionale.