Rotating Bose-Einstein condensates in cylindrical traps

This thesis investigates the dimensional reduction of the three-dimensional Gross–Pitaevskii functional for rotating Bose–Einstein condensates confined in cylindrical traps. Starting from the energy asymptotic proven in [K. Schnee and J. Yngvason, Bosons in Disc-Shaped Traps: From 3D to 2D, Communications in Mathematical Physics, 269:659–691, 2007] for strongly confined condensates in disc-shaped traps, we extend the analysis to establish the factorization of the Gross-Pitaevskii minimizer in the setting without rotation. We then move to the case of cylindrical traps with Neumann boundary conditions, and we prove that the minimizer of the 3D functional factorizes and reduces to that of an effective 2D problem, both with and without rotation. Finally, we consider the case of Dirichlet boundary conditions and show that, in the limit of very elongated cylinders, the Dirichlet energy is asymptotically close to the Neumann one, and the Dirichlet minimizer can be approximated by a factorized profile in the case without rotation. The theoretical results are complemented by a numerical study of the minimization of the Gross-Pitaevskii functional via the gradient flow with discrete normalization method. Two distinct numerical discretizations are exploited: a backward Euler pseudo-spectral method implemented in the GPELab toolbox of Matlab, and a backward Euler finite element method developed using the Firedrake library in Python. Finally, we present numerical simulations for both harmonic and quartic trapping potentials, illustrating the nucleation and spatial distribution of quantized vortices. The reduced 2D models are shown to capture the energy and the vortex structure of the original 3D problems with high accuracy, supporting the validity of dimensional reduction in computational practice. We also observe that the finite element method overcomes artificial symmetries induced by the pseudo-spectral method, especially in the case of harmonic potentials.

Questa tesi studia la riduzione dimensionale del funzionale tridimensionale di Gross-Pitaevskii per condensati di Bose-Einstein rotanti confinati in trappole cilindriche. Partendo dal comportamento asintotico dell'energia dimostrato in [K. Schnee e J. Yngvason, Bosons in Disc-Shaped Traps: From 3D to 2D, Communications in Mathematical Physics, 269:659–691, Feb. 2007] per condensati fortemente confinati in trappole a forma di disco, estendiamo l'analisi per stabilire la fattorizzazione del minimizzatore in assenza di rotazione. Successivamente, consideriamo il caso di trappola cilindrica con condizioni al contorno di Neumann, dimostrando che il minimizzatore del funzionale 3D si fattorizza e si riduce a quello di un problema 2D efficace, sia in presenza che in assenza di rotazione. Infine, esaminiamo il caso di trappola cilindrica con condizioni al contorno di Dirichlet, mostrando che nel limite di un cilindro molto elongato l'energia di Dirichlet è asintoticamente vicina a quella di Neumann, e che il minimizzatore di Dirichlet può essere approssimato da un profilo fattorizzato nel caso senza rotazioni. I risultati teorici sono supportati da uno studio numerico della minimizzazione del funzionale di Gross-Pitaevskii tramite il metodo di flusso del gradiente con normalizzazione discreta. Vengono utilizzate due discretizzazioni numeriche distinte: un metodo pseudo-spettrale implementato nel toolbox GPELab di Matlab e un metodo agli elementi finiti sviluppato utilizzando la libreria Firedrake in Python. In conclusione, presentiamo le simulazioni numeriche di potenziali di trappola armonici e quartici, illustrando la nucleazione e la distribuzione spaziale dei vortici quantizzati. I modelli ridotti 2D si dimostrano in grado di catturare con elevata accuratezza l'energia e la struttura dei vortici del problema 3D originario, confermando la validità della riduzione dimensionale. Osserviamo, inoltre, che il metodo agli elementi finiti risolve meglio la fisica del sistema perché supera le simmetrie artificiali indotte dal metodo pseudo-spettrale, specialmente nel caso di potenziali armonici.