A comparison between a nitsche-based method and a lagrange multipliers approach for contact problems in linear elasticity

Frictional contact problems are among the most challenging topics in computational mechanics, due to their strongly nonlinear and non-smooth character stemming from contact constraints and Coulomb-type friction laws. A wide range of discretization strategies has been proposed, most notably mixed formulations with Lagrange multipliers and more recent approaches based on Nitsche’s method. This thesis provides a comparative study of these two families of methods, focusing on both their theoretical background and their practical performance. The two methods are analyzed in a unified finite element framework. Numerical tests are carried out using a MATLAB library developed within the Department of Civil, Environmental and Architectural Engineering of the University of Padova: alongside the existing implementation of the Lagrange multiplier method, we implemented an original solver that employs the Nitsche method, written as part of this thesis. A sequence of benchmark problems of increasing difficulty - frictionless, sticking, and slipping contact - are investigated in order to assess robustness, accuracy, and convergence properties. The results show that both methods are able to capture the essential features of frictional contact. The mixed stabilized formulation ensures accuracy and robustness but requires the introduction of additional unknowns and is highly dependent on the output of the active set algorithm. The Nitsche method, by contrast, avoids Lagrange multipliers and leads to a more straightforward implementation, albeit requiring some care for the treatment of the non-differentiabilities; for sufficiently large stabilization parameters, its accuracy is comparable to that of the mixed method, with notable efficiency in the imposition of contact conditions. These findings confirm the potential of Nitsche’s method as a competitive alternative for the numerical treatment of frictional contact problems.

I problemi di contatto con attrito rappresentano una delle sfide più complesse della meccanica computazionale, a causa del loro carattere fortemente non lineare e non regolare, derivante dai vincoli di contatto e dalla legge d’attrito di Coulomb. In letteratura sono state proposte diverse strategie di discretizzazione, tra cui le formulazioni miste con moltiplicatori di Lagrange e i più recenti approcci basati sul metodo di Nitsche. Questa tesi propone uno studio comparativo di entrambe le famiglie di metodi, con particolare attenzione sia agli aspetti teorici sia alle prestazioni computazionali. I due metodi sono stati analizzati in un quadro comune di elementi finiti. I test numerici sono stati condotti utilizzando una libreria MATLAB sviluppata presso il Dipartimento di Ingegneria Civile, Edile e Ambientale dell’Università di Padova: all’implementazione esistente del metodo con moltiplicatori di Lagrange è stata affiancata una nuova implementazione del metodo di Nitsche, sviluppata nell’ambito di questa tesi. Una serie di problemi di riferimento, di difficoltà crescente (senza attrito, in regime di "stick" e in regime di slittamento), è stata esaminata per valutare robustezza, accuratezza e proprietà di convergenza. I risultati mostrano che entrambi i metodi sono in grado di riprodurre in maniera affidabile le caratteristiche essenziali del contatto con attrito. La formulazione mista stabilizzata garantisce accuratezza e robustezza, ma richiede l’introduzione di incognite aggiuntive. Il metodo di Nitsche, al contrario, evita l’uso dei moltiplicatori di Lagrange e consente un’implementazione più diretta, sebbene richieda un particolare attenzione nel trattamento delle non-differenziabilità; per valori sufficientemente grandi del parametro di "penalizzazione", la sua accuratezza risulta comparabile a quella del metodo misto, con una particolare efficienza nell’imposizione delle condizioni di contatto. Questi risultati confermano il potenziale del metodo di Nitsche come valida alternativa per il trattamento numerico dei problemi di contatto con attrito.