A geometric model for the DOA estimation by using a rectangular grid of sensors in absence of noise

This thesis studies the estimation of the direction-of-arrivals (DOAs) of plane wave-fronts incident on a two-dimensional rectangular sensor grid. In this thesis, we do not consider any noise affecting the data. Traditional approaches like MUSIC, root-MUSIC, and ESPRIT are models that consider noisy data and need many snapshots. Their performance issues are very good when the sources are coherent and when the signal-to-noise ratio (SNR) is relatively small. In this thesis, we show that the estimation of DOAs in the deterministic set up is equivalent to finding the intersection points between suitable algebraic varieties. Indeed, by using a formalism from algebraic geometry, the received signals can be represented as the Veronese–Segre surface and reframe the DOA estimation problem as identifying the intersection of the Veronese-Segre surface and the signal subspace. Since the intersection points are those for which the distance from the signal subspace vanish, we can reformulate the estimation problem as the search of points on the Veronese-Segre surface at minimum distance from the signal subspace, so a search problem in the spectral domain. The mathematics we used arise from linear algebra, projective geometry and the properties of Segre and Veronese embeddings. The method is validated by MATLAB simulations for various source configurations and sensor densities from a 64×64 grid. The simulations show that the system produces best DOA estimates with very sparse sensor deployments of only 10% of the grid, and performance surprisingly degrades with increasing sensor density. The result also indicates that the localization algorithm must be improved.

Questa tesi studia la stima della direzione di arrivo (DOA) di fronti d'onda piani incidenti su una griglia di sensori rettangolare bidimensionale. In questa tesi, non consideriamo alcun rumore che influenzi i dati. Approcci tradizionali come MUSIC, root-MUSIC ed ESPRIT sono modelli che considerano dati rumorosi e richiedono numerose istantanee. Le loro prestazioni sono molto buone quando le sorgenti sono coerenti e quando il rapporto segnale/rumore (SNR) è relativamente piccolo. In questa tesi, mostriamo che la stima delle DoA nell'impostazione deterministica equivale a trovare i punti di intersezione tra opportune varietà algebriche. Infatti, utilizzando un formalismo di geometria algebrica, i segnali ricevuti possono essere rappresentati come la superficie di Veronese-Segre e riformulare il problema di stima DOA come l'identificazione dell'intersezione tra la superficie di Veronese-Segre e il sottospazio del segnale. Poiché i punti di intersezione sono quelli per cui la distanza dal sottospazio del segnale si annulla, possiamo riformulare il problema di stima come la ricerca di punti sulla superficie di Veronese-Segre a minima distanza dal sottospazio del segnale, quindi un problema di ricerca nel dominio spettrale. La matematica che abbiamo utilizzato deriva dall'algebra lineare, dalla geometria proiettiva e dalle proprietà delle immersioni di Segre e Veronese. Il metodo è convalidato da simulazioni MATLAB per varie configurazioni di sorgenti e densità di sensori da una griglia 64x64. Le simulazioni mostrano che il sistema produce le migliori stime DOA con distribuzioni di sensori molto sparse, pari a solo il 10% della griglia, e che le prestazioni peggiorano sorprendentemente con l'aumentare della densità dei sensori. Il risultato indica anche che l'algoritmo di localizzazione deve essere migliorato.