IMEX-RB-DD: a self-adaptive implicit-explicit time integration scheme exploiting the reduced basis method and domain decomposition

In this work, we address the efficient time integration of systems of ordinary differential equations (ODEs), arising from the spatial discretizations of partial differential equations (PDEs) by finite element methods (FEM). To this end, we extend the self-adaptive Implicit-Explicit Reduced Basis (IMEX-RB) time integration method to finite element discretizations of PDEs. Leveraging the Reduced Basis (RB), the method first projects the high-fidelity problem onto a dynamically updated reduced subspace, enabling implicit integration with low computational cost. Then, the obtained prediction is used as an educated guess for the explicit integration in the full-order space. Starting from the IMEX-RB method already introduced in literature for finite difference discretizations of PDEs, we extend its applicability to FEM-based systems that include a mass matrix. In this context, we establish the method’s consistency, convergence, and absolute stability, and confirm its accuracy, first-order convergence, and unconditional stability through numerical experiments. To further reduce computational costs associated with mass matrix inversion, we propose the Implicit-Explicit Reduced Basis for Domain Decomposition (IMEX-RB-DD) method. This variant employs a novel mass matrix splitting strategy that facilitates efficient inversion, supports domain decomposition, and enables mass lumping for high parallelizability. In this way, the computational efficiency of the explicit full-order integration is increased. We prove the method’s theoretical properties – consistency, convergence, and absolute stability – and demonstrate, via two-dimensional diffusion and advection–diffusion tests, that it achieves accuracy comparable to backward Euler while offering significant runtime reductions, even for a range of timestep sizes above the forward Euler stability threshold. The proposed framework lays the groundwork for parallel implementations and future extensions to nonlinear problems, three-dimensional domains, and overlapping domain decompositions.

In questo lavoro affrontiamo l’integrazione temporale di sistemi di equazioni differenziali ordinarie (ODE), derivanti dalla discretizzazione spaziale di equazioni alle derivate parziali (PDE) tramite il metodo degli elementi finiti (FEM). A tal fine, estendiamo il metodo di integrazione temporale auto-adattivo Implicito-Esplicito a Basi Ridotte (IMEX-RB) alle discretizzazioni FEM delle PDE. Sfruttando le Basi Ridotte (RB), il metodo proietta innanzitutto il problema su un sottospazio ridotto aggiornato dinamicamente, consentendo un’integrazione implicita a basso costo computazionale. Successivamente, la predizione ottenuta viene utilizzata come stima iniziale per l’integrazione esplicita nello spazio a pieno ordine. Partendo dal metodo IMEX-RB presente in letteratura per le discretizzazioni delle PDE tramite differenze finite, ne estendiamo l’applicabilità ai sistemi ottenuti tramite FEM che includono una matrice di massa. In questo contesto, dimostriamo la consistenza, la convergenza e la stabilità assoluta del metodo, e ne confermiamo l’accuratezza e la stabilità incondizionata mediante test numerici. Per ridurre ulteriormente i costi computazionali associati all’inversione della matrice di massa, proponiamo il metodo Implicito-Esplicito a Basi Ridotte per la Decomposizione del Dominio (IMEX-RB-DD). Questa variante impiega una originale strategia di suddivisione della matrice di massa che facilita un’inversione efficiente, supporta la decomposizione di dominio e consente un’elevata parallelizzabilità. In questo modo, viene aumentata l’efficienza computazionale dell’integrazione esplicita. Dimostriamo la consistenza, convergenza e stabilità assoluta del metodo e mostriamo, attraverso esempi di diffusione e advezione-diffusione bidimensionali, che esso raggiunge un’accuratezza paragonabile al metodo di Eulero implicito, offrendo al contempo significative riduzioni dei tempi di calcolo, anche per passi temporali superiori alla soglia di stabilità di Eulero esplicito. Il metodo proposto pone le basi per implementazioni in parallelo ed estensioni future a problemi non lineari, domini tridimensionali e decomposizioni di dominio sovrapposte.