Non-uniqueness of self-similar solutions for the supercritical Complex Ginzburg-Landau equation

This thesis presents a comprehensive numerical investigation into the existence, stability, and uniqueness of self-similar solutions to the Complex Ginzburg-Landau (CGL) equation in the supercritical regime. The primary focus is on forward-in-time solutions in selfsimilar coordinates whose initial condition correspond to the blow-up profiles of backwardin-time self-similar solutions. The investigation seeks to determine whether the evolution of this forward profile from the singularity is unique. The study is divided into two main parts. First, we construct branches of backward in time self-similar solutions, which describe the blow up profiles, in both one and three spatial dimensions. These results align with previous findings in the literature. Furthermore, we review an important result from Dahne and Figueras regarding the existence of the solutions. Second, we formulate and solve the forward-in-time problem to study the post singularity dynamics. A numerical framework, utilizing a shooting method, is developed to compute the corresponding branches of forward self-similar solutions. The core of the analysis lies in the spectral properties of the CGL operator linearized around these non-trivial self-similar profiles. By numerically computing the eigenvalues, we assess the linear stability of the solutions. Our findings reveal a difference between the two cases taken into consideration. In the one-dimensional case (d = 1, σ = 2.3), the forward-in-time solutions are found to be linearly stable in self-similar coordinates, suggesting that the evolution from the singularity is unique and predictable. In contrast, the three dimensional cubic case (d = 3, σ = 1) exhibits instability. We provide strong numerical evidence of Hopf bifurcations, where pairs of complex conjugate eigenvalues cross the imaginary axis along the branches. The discovery of these instabilities in three dimensions is the central result of this work. It strongly indicates the non-uniqueness of solutions for the forward-in-time CGL equation.

Questa tesi presenta un’indagine numerica approfondita sull’esistenza, la stabilità e l’unicità di soluzioni auto-simili dell’equazione di Ginzburg-Landau Complessa (CGL) nel regime supercritico. L’attenzione principale è rivolta alle soluzioni avanti nel tempo, in coordinate auto-simili, la cui condizione iniziale corrisponde ai profili di blow-up delle soluzioni auto-simili indietro nel tempo. L’obiettivo dell’indagine è determinare se l’evoluzione di questo profilo in avanti, a partire dalla singolarità, sia unica. Lo studio è suddiviso in due parti principali. In primo luogo, costruiamo rami di soluzioni auto-simili indietro nel tempo, che descrivono i profili di blow-up, sia in una che in tre dimensioni spaziali. Questi risultati sono in accordo con quelli già presenti in letteratura. Inoltre, rivediamo un importante risultato di Dahne e Figueras riguardante l’esistenza delle soluzioni. In secondo luogo, formuliamo e risolviamo il problema avanti nel tempo per studiare la dinamica successiva alla singolarità. A tal fine, sviluppiamo un framework numerico basato su un metodo di shooting per calcolare i corrispondenti rami di soluzioni auto-simili avanti nel tempo. Il nucleo dell’analisi risiede nelle proprietà spettrali dell’operatore CGL linearizzato intorno a questi profili auto-simili non banali. Calcolando numericamente gli autovalori, valutiamo la stabilità lineare delle soluzioni. I risultati mostrano una differenza tra i due casi considerati. Nel caso unidimensionale (d = 1, σ = 2.3), le soluzioni avanti nel tempo risultano linearmente stabili in coordinate auto-simili, suggerendo che l’evoluzione a partire dalla singolarità sia unica e prevedibile. Al contrario, il caso cubico tridimensionale (d = 3, σ = 1) presenta instabilità. Forniamo solide evidenze numeriche della presenza di biforcazioni di Hopf, in cui coppie di autovalori complessi coniugati attraversano l’asse immaginario lungo i rami. La scoperta di queste instabilità in tre dimensioni costituisce il risultato centrale di questo lavoro, indicando fortemente la non unicità delle soluzioni per l’equazione CGL avanti nel tempo.