A p-adaptive polytopal discontinuous Galerkin method for the Fisher-Kolmogorov equation, with application to neurodegenerative disorder

This thesis focuses on the \textit{p}-adaptive modeling of misfolding prion-like proteins in the brain, a key mechanism underlying neurodegeneration. The process is modelled using the Fisher–Kolmogorov equation, discretized in space with a discontinuous Galerkin method on polygonal and polyhedral grids (PolyDG) to accurately capture the travelling wavefronts characteristic of prionic spreading, and in time using the Crank–Nicolson scheme. To address the high computational cost associated with complex brain geometries, and multiscale dynamics, as well as the method not positivity-preserving, a \textit{p}-adaptive strategy is introduced, dynamically adjusting the local polynomial degree based on suitable \textit{a posteriori} error estimators. An automated clustering algorithm is used to select elements for refinement and coarsening, improving computational efficiency while preserving accuracy. Numerical verification is carried out through convergence tests. The results demonstrate that the method significantly reduces computational complexity while maintaining the accuracy of the numerical solution in capturing wavefront dynamics. In particular, it is shown that enforcing a lower bound on the minimum polynomial degree improves the stability and accuracy of the method.

La presente tesi è incentrata sulla modellizzazione \textit{p}-adattiva delle proteine prioniche mal ripiegate nel cervello, un meccanismo fondamentale alla base dei processi neurodegenerativi. Il fenomeno è modellato mediante l'equazione di Fisher-Kolmogorov, discretizzata in spazio tramite il metodo Galerkin discontinuo su griglie poligonali e poliedriche (PolyDG), al fine di rappresentare con precisione i fronti d’onda caratteristici della diffusione prionica, e in tempo mediante lo schema di Crank–Nicolson.Per ridurre l’elevato costo computazionale legato alle complesse geometrie cerebrali, alle dinamiche multiscala e al fatto che il metodo PolyDG non preserva la positività della soluzione, viene proposta una strategia \textit{p}-adattiva che regola dinamicamente il grado polinomiale locale sulla base di opportuni stimatori di errore \textit{a posteriori}. Un algoritmo di clustering automatizzato consente di selezionare in maniera efficiente gli elementi da raffinare e da ingrossare, migliorando le prestazioni computazionali senza compromettere l’accuratezza. La verifica numerica è condotta attraverso test di convergenza, i cui risultati dimostrano che il metodo riduce significativamente la complessità computazionale, mantenendo l'accuratezza della soluzione numerica nel catturare le dinamiche del fronte d'onda. In particolare, si osserva che l’imposizione di un limite inferiore al grado polinomiale minimo incrementa la stabilità e la precisione del metodo.