Polytopal discontinuous Galerkin methods for time-dependent nonlinear reaction-diffusion equations in the C++ vulpes library

This thesis investigates the application of discontinuous Galerkin finite element methods on polytopal grids to the numerical solution of partial differential equations, focusing on three benchmark problems of increasing complexity: the Poisson equation, the heat equation with a reaction term, and the Fisher–Kolmogorov equation. We implement the proposed schemes in the Vulpes library, a modular C++ framework for high-order methods on polytopal meshes. Original contributions include the development of solver classes for both linear and non-linear problems and the extension of existing modules to treat reaction–diffusion dynamics. The Poisson and heat equations were studied in three dimensions across different mesh families (hexahedral, tetrahedral, and extruded Voronoi), confirming the theoretical error estimates, with optimal convergence rates in both the L2 and discontinuous Galerkin norms, and exponential decay in the convergence tests on the polynomial degree. The Fisher-Kolmogorov equation, characterized by a non-linear reaction term and high computational complexity, was first analyzed in two dimensions across polygonal meshes and then in three dimensions on tetrahedral meshes, showing the robustness of the method also for non-linear problems. These findings validate the effectiveness of the proposed approach and implementation across a range of geometries and partial differential equations' classes, while also highlighting computational challenges such as memory requirements and the cost of non-linear assembly. Future work may address these issues through parallelization, advanced preconditioning, and adaptive strategies.

Questa tesi indaga l’applicazione dei metodi agli elementi finiti discontinui su griglie politopali alla soluzione numerica di equazioni alle derivate parziali, con particolare attenzione a tre problemi di complessità crescente: l’equazione di Poisson, l’equazione del calore con termine di reazione e l’equazione di Fisher–Kolmogorov. Tutte le implementazioni, che sono indipendenti dalla dimensione del problema, sono state realizzate all’interno della libreria Vulpes, un framework C++ modulare per metodi ad alto ordine su mesh politopali. I contributi originali includono lo sviluppo di classi di solutori per problemi lineari e non lineari, nonché l’estensione di moduli esistenti per trattare dinamiche di tipo reazione–diffusione. Le equazioni di Poisson e del calore sono state studiate in tre dimensioni su diverse famiglie di mesh (esaedriche, tetraedriche e Voronoi estruse), confermando le stime teoriche dell’errore, con tassi di convergenza ottimali sia in norma L2 che in norma di Galerkin discontinuo e decadimento esponenziale nei test di convergenza in grado polinomiale. L’equazione di Fisher–Kolmogorov, caratterizzata da un termine di reazione non lineare e da un’elevata complessità computazionale, è stata analizzata in due dimensioni su mesh poligonali e successivamente in tre dimensioni usando mesh tetraedriche, mostrando anche in questo contesto un comportamento convergente conforme alla teoria e dimostrando la robustezza del metodo in presenza di non linearità. Questi risultati validano l’efficacia dell'approccio proposto su diverse geometrie e classi di equazioni, pur evidenziando sfide computazionali legate ai limiti di memoria e ai costi di assemblaggio non lineare. Futuri sviluppi potranno affrontare tali criticità attraverso parallelizzazione, precondizionamento avanzato e strategie adattive.