An application of game theory to a 3-player board game

Game theory is the mathematical study of interaction among independent, selfinterested agents. It has been applied to disciplines as diverse as economics, political science, biology, psychology, linguistics and computer science. In spite of its own name it is rarely applied to actual games. In this work we wanted to try applying the main methods and results of game theory to Tóncc, a competitive boardgame created by Davide Bassanelli. In a match of Tóncc, three Players move their pawns across a board to obtain the control of some tiles called Regions. We chose this game for two main reasons. First, the number of players; in fact, there are plenty of examples and tools for studying 2-players games, while the n-player framework is a rather unexplored field. Second, the flow of the game is quite interesting: the game lasts several rounds, in each of which the Players simultaneously choose between six actions. In game theory, extensive form representation and normal form representation are the most known model for describing a game. Extensive form is better suited when Players take actions in sequence, while normal form is better when the Players take actions simultaneously. Since both things happen during a Tóncc game, we created a new form for representing games, which tries to keep the best of the two models. We also provided a solution concept built upon the one of backward induction. Moreover we have developed a numerical method for searching Nash Equilibria in normal form games. The method still lacks a solid mathematic foundation but it has shown great empirical results in our framework, as it founds a Nash Equilibrium most of the time and always provided reasonable results as it has a really intuitive interpretation.

Teoria dei giochi è una disciplina della matematica che studia l'interazione tra agenti indipendenti. È stata applicata in diverse discipline come economia, scienze politiche, biologia, psicologia, linguistica e informatica. Contrariamente al nome, raramente viene applicata a giochi effettivi. In questa tesi abbiamo voluto applicare i principali metodi e risultati della teoria dei giochi per analizzare Tóncc, un gioco da tavolo competitivo creato da Davide Bassanelli. In una partita di Tóncc, tre giocatori muovono la propria pedina su un tabellone, cercando di ottenere il controllo di alcune tessere chiamate Regioni. Abbiamo scelto questo gioco per due principali motivi. Il primo è il numero di giocatori. Infatti, mentre la letteratura è piena di esempi e strumenti per giochi a due, quando il numero di giocatori aumenta entriamo in un territorio non molto approfondito. In secondo luogo è piuttosto interessante il flusso di gioco: una partita a Tóncc dura diversi round in ognuno dei quali i giocatori compiono contemporaneamente una scelta fra sei possibili azioni. In teoria dei giochi, la rappresentazione in forma estesa e quella in forma normale sono i due modelli più conosciuti per descrivere un gioco. La rappresentazione in forma estesa è più indicata quando i giocatori compiono azioni in una sequenza cronologica, mentre quella in forma normale funziona meglio quando i giocatori prendono decisioni contemporanemante. Durante una partita di Tóncc accadono entrambe le cose, per questo abbiamo creato una nuova rappresentazione che cerca di prendere il meglio dei due modelli sopra menzionati. Abbiamo anche fornito una soluzione che estende l'idea di induzione a ritroso. Inoltre abbiamo sviluppato un metodo numerico per la ricerca di equilibri di Nash in giochi espressi in forma normale. Il metodo necessita ancora di una solida base matematica ma nel nostro caso ha mostrato ottimi risultati empirici, trovando un equilibrio di Nash il più delle volte e fornendo comunque sempre risultati ragionevoli, anche grazie alla sua interpretazione intuitiva.