Optimal reinsurance under partial information: an HJB approach

Optimal reinsurance is a central problem in insurance mathematics, as it allows insurers to manage risk exposure while ensuring they can meet their obligations to policyholders. This thesis focuses on the optimal reinsurance problem under partial information, extending classical models to account for unobservable environmental factors that influence claim dynamics. The surplus process is modeled as a marked point process driven by a hidden continuous time finite-state Markov chain, while the reinsurance premium is treated as a stochastic process adapted to the available information. A suitable Hamilton–Jacobi–Bellman (HJB) equation is employed to characterize the optimal reinsurance strategy under this partial information setting. The analysis includes general reinsurance contracts, going beyond the classical proportional and excess-of-loss forms, and provides sufficient conditions for existence and uniqueness of solution of the HJB. In particular, in the case of a two dimensional hidden Markov chain with same claim distribution, the evaluation of the reinsurance premium under the Expected Value Principle is studied highlighting the effects of partial information on the optimal strategy. The results of this work contribute to generalize the model of Liang and Bayraktar [7] and offer practical insights for the design of reinsurance contracts when full information on the environment is not available. The methodology developed can be applied to a general class of stochastic control problems arising in insurance and finance.

La riassicurazione ottimale è un problema centrale nella matematica assicurativa, poiché consente agli assicuratori di gestire l’esposizione al rischio e di garantire il rispetto dei propri obblighi verso i titolari di polizze. La tesi si concentra sul problema di riassicurazione ottima nel caso di informazione parziale, estendendo i modelli classici al fine di tener conto dei fattori ambientali non osservabili che influenzano la dinamica dei sinistri. Il processo di surplus è modellato come un processo di punto marcato guidato da una non osservabile catena di Markov continua con un numero finito di stati, mentre il premio riassicurativo è considerato come un processo stocastico adattato alle informazioni disponibili. Un’opportuna equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) è utilizzata per caratterizzare la strategia di riassicurazione ottima in un contesto di informazione parziale. L’analisi include contratti generici di riassicurazione, superando le forme classiche proporzionali ed eccesso di perdita, e fornisce condizioni sufficienti per l’esistenza ed unicità della soluzione dell’HJB. In particolare, nel caso di una catena di Markov nascosta bidimensionale con ugual distribuzione dei sinistri, è studiata la valutazione del premio riassicurativo sotto il principio del valore atteso sottolineando gli effetti dell’informazione parziale nella strategia ottima. I risultati di questo lavoro contribuiscono a generalizzare il modello di Liang e Bayraktar [7] e offre spunti per la progettazione dei contratti di riassicurazione quando non è disponibile un ambiente di informazione completa. La metodologia sviluppata può essere applicata ad una classe più generale di problemi di controllo stocastico negli ambiti assicurativo e finanziario.