Optimization of model parameters of RANS turbulence models using physics informed neural networks

Physics-Informed Neural Networks (PINNs) have recently emerged as a powerful frame- work that integrates deep learning with physical constraints to solve Partial Differential Equations (PDEs). By embedding conservation laws directly into the training process, PINNs provide a data-efficient alternative to classical numerical methods and offer promis- ing new capabilities for forward simulations and inverse problems in fluid dynamics. This thesis investigates the application of PINNs to turbulence modeling, with a par- ticular focus on parameter estimation and the reconstruction of complex flow fields. After reviewing the foundations of PINNs and classical turbulence closures, including one-equation (Prandtl) and two-equation (k–ϵ) models, the study examines how differ- ent training strategies—collocation points, boundary constraints, and internal supervised data—influence both the accuracy of velocity predictions and the stability of learned turbulence parameters. The proposed framework is applied to the benchmark case of flow over periodic hills, where high-fidelity Direct Numerical Simulation (DNS) data are used to evaluate model perfor- mance. Results demonstrate that PINNs are capable of capturing key flow features and simultaneously estimating turbulence closure coefficients, reducing reliance on empirically prescribed constants. The analysis highlights the complementary roles of data-driven and physics-informed constraints, showing that supervised internal points enhance accuracy at the field level, while collocation and boundary points improve parameter stability and consistency. Overall, the findings suggest that PINNs may provide a useful framework for turbulence research, with potential applications in predictive modeling and in the adaptive calibration of closure coefficients. We note, however, that we found significant variability in model performance simply by varying the location of the neural network application points, and, furthermore, the errors were high in many situations.

Le Physics-Informed Neural Networks (PINNs) si sono recentemente affermate come un potente approccio che integra le reti neurali profonde con i vincoli fisici per la risoluzione di Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali (PDEs). Inserendo direttamente le leggi di conservazione all’interno del processo di addestramento, le PINNs offrono un’alternativa data-efficient ai metodi numerici classici e introducono nuove potenzialità sia per simu- lazioni forward sia per problemi inversi in fluidodinamica. In questa tesi viene studiata l’applicazione delle PINNs alla modellazione della turbolenza, con particolare attenzione alla stima dei parametri e alla ricostruzione di campi di moto complessi. Dopo aver introdotto i fondamenti delle PINNs e dei modelli di turbolenza classici, tra cui il modello a una equazione (Prandtl) e a due equazioni (k–ϵ) e , il la- voro analizza come diverse strategie di addestramento—punti di collocazione, vincoli al contorno e dati supervisionati interni—influenzino sia l’accuratezza delle predizioni di velocità, sia la stabilità dei parametri turbolenti appresi. Il framework proposto è applicato al caso di riferimento del flusso sopra colline periodiche, utilizzando dati ad alta fedeltà ottenuti da simulazioni DNS (Direct Numerical Simulation) per valutare le prestazioni del modello. I risultati dimostrano che le PINNs sono in grado di catturare le principali caratteristiche del flusso e stimare simultaneamente i coefficienti di chiusura turbolenti, riducendo la dipendenza da costanti empiriche prescritte. L’analisi evidenzia il ruolo complementare dei vincoli data-driven e physics-informed: i punti interni supervisionati migliorano l’accuratezza a livello di campo, mentre i punti di collocazione e al contorno incrementano la stabilità e la coerenza dei parametri. Nel complesso, i risultati suggeriscono che le PINNs possano costituire un quadro utile per la ricerca sulla turbolenza, con possibili applicazioni sia nella modellazione predittiva sia nella calibrazione adattiva dei coefficienti di chiusura. Notiamo comunque una forte variabilità nelle prestazioni dei modelli semplicemente variando la posizione dei punti in cui la rete neurale viene applicata e, inoltre, gli errori risultano spesso elevati.