PDE-penalized spatial regression via IsoGeometric analysis

This thesis investigates Spatial Regression with Partial Differential Equation Regularisation, a statistical framework for modeling spatial data on complex domains by embedding physical or geometric constraints through PDE-based penalties. The focus is on domains represented as smooth two-dimensional manifolds embedded in three-dimensional space, modeled exactly using Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS) surfaces. The resulting estimation problems are addressed within the IsoGeometric Analysis (IGA) framework, which employs common spline-based basis functions for both geometry representation and solution approximation. The work was developed within the fdaPDE library, which provides tools for Spatial and Functional Data Analysis with PDE regularisation. It started from an available IGA prototype, which has been completely reimplemented to address limitations in performance, scalability, and flexibility. The statistical model was then implemented via a direct discretization approach for the elliptic PDE penalizations. First, some results on the well-posedness of the problem are provided, under classic assumptions. The framework is then validated through numerical experiments on synthetic data over spherical geometries, demonstrating its accuracy, robustness, and competitiveness with state-of-the-art tools. Finally, the method is applied to meteorological data over a spherical patch encompassing Europe, incorporating actual wind fields as a transport penalization. The results highlight the benefit of including physical transport information, particularly in scenarios with sparse and non-uniform observational coverage.

Questa tesi indaga la Spatial Regression with Partial Differential Equation Regularisation, un modello statistico per tecniche di previsione di dati spaziali su domini complessi mediante l’inclusione di vincoli fisici o geometrici attraverso penalizzazioni basate sulle Equazioni alle Derivate Parziali (EDP). L’attenzione è rivolta a domini rappresentati come varietà bidimensionali lisce immerse nello spazio tridimensionale, modellati esattamente tramite superfici NURBS. I problemi di stima risultanti sono affrontati attraverso l'Analisi IsoGeometrica (IGA), una tecnica di discretizzazione che utilizza le stesse funzioni di base spline sia per la rappresentazione geometrica sia per l’approssimazione della soluzione. Il lavoro è stato sviluppato all’interno della libreria fdaPDE, che fornisce strumenti per l’Analisi Spaziale e Funzionale con regolarizzazione tramite EDP. Il punto di partenza è stato un prototipo IGA già disponibile nella libreria, completamente reimplementato per risolvere problemi di prestazioni, scalabilità e flessibilità. Il modello statistico è stato successivamente implementato attraverso un approccio di discretizzazione diretta per le penalizzazioni basate su EDP ellittiche. In primo luogo vengono forniti alcuni risultati sulla buona positura del problema, sotto ipotesi classiche. Il modello è poi validato tramite esperimenti numerici su dati sintetici definiti su geometrie sferiche, che dimostrano accuratezza, robustezza e competitività rispetto ad altri metodi in letteratura. Infine, il metodo è applicato a dati meteorologici su una regione sferica comprendente l’Europa, incorporando campi di vento reali come penalizzazione di trasporto. I risultati evidenziano il beneficio dell’inclusione di informazioni fisiche di trasporto, in particolare in scenari caratterizzati da copertura osservativa scarsa e/o non uniforme.