Feshbach resonances: a multichannel scattering model

This thesis develops a rigorous model to describe the mechanism behind Feshbach resonances from both a physical and mathematical perspective. Resonances play a fundamental role in many areas of physics, but it is especially in low- and high-energy scattering that the effect of resonances is extremely apparent, leading to key physical consequences in e.g. the theory of nuclear reactions and of nuclear processes inside reactors. At lower energies Feshbach resonances induced by magnetic fields are used in cold atom physics to control and tune the interaction between the atoms, a feature which proved to be crucial for the first experimental realization of Bose-Einstein condensation. The effective interaction between cold alkali atoms is modeled as a two-particle multichannel scattering process with an open channel and a closed channel. At the low energies under consideration in one channel the scattering is possible, while in the other only a bound state with closed energy is available. The open channel is then coupled to the closed channel thanks to a magnetic coupling. Feshbach resonances emerge when the scattering energy is nearly degenerate, generating characteristic peaks in the cross section well described by the Breit-Wigner formula in the low-energy elastic scattering regime. In this thesis we study a mathematical model of the above physical mechanism, where the intrachannel Hamiltonians contains suitable Agmon potentials and the interchannel coupling is provided by a rank-one perturbation. We first investigate the spectral properties of the full Hamiltonian and characterize its eigenvalues as well as discuss the occurrence of eigenvalues embedded in the continuum. Next, we show how how the eigenvalue of the unperturbed Hamiltonian may become a resonance due to the presence of the interchannel coupling. Finally, we address the multichannel scattering and apply time-independent methods to the effective one-channel operator showing the occurrence of peaks in the associated scattering length. The fundamental novelty contained in the work is the application of time-dependent scattering methods. Our main contribution consists indeed in proving the existence and completeness of wave operators for the effective one-channel Hamiltonian which guarantees a rigorous asymptotic description of the scattering process. The result is then extended to the full matrix Hamiltonian by application of the Schur complement method.

Questa tesi sviluppa un modello rigoroso per descrivere il meccanismo alla base delle risonanze di Feshbach sia da una prospettiva fisica sia matematica. Le risonanze svolgono un ruolo fondamentale in molti ambiti della fisica, ma è soprattutto nello scattering a basse ed alte energie che l'effetto delle risonanze è estremamente evidente, portando a conseguenze fisiche chiave, ad esempio nella teoria delle reazioni nucleari e nei processi nucleari all'interno dei reattori. A energie molto più basse, le risonanze di Feshbach indotte dai campi magnetici vengono utilizzate nella fisica degli atomi freddi per controllare e regolare l'interazione tra gli atomi, una caratteristica che si è rivelata cruciale per la realizzazione sperimentale dei condensati di Bose-Einstein. L'interazione effettiva tra atomi alcalini freddi è modellata come un processo di scattering multicanale a due particelle con un canale aperto e un canale chiuso. Alle basse energie considerate, in un canale lo scattering è possibile, mentre nell'altro è disponibile solo uno stato legato con energia chiusa. Il canale aperto è quindi accoppiato a quello chiuso grazie ad un accoppiamento magnetico. Le risonanze di Feshbach emergono quando l'energia di scattering è quasi degenere, generando picchi caratteristici nella sezione d'urto ben descritti dalla formula di Breit-Wigner nel regime di scattering elastico a basse energie. In questa tesi studiamo un modello matematico del meccanismo fisico di cui sopra, in cui le Hamiltoniane intracanale contengono appropriati potenziali di Agmon e l'accoppiamento tra i canali è dato da una perturbazione di rango uno. Inizialmente studiamo le proprietà spettrali dell'Hamiltoniana completa e caratterizziamo i suoi autovalori negativi, oltre a discutere la presenza di autovalori immersi nel continuo. Successivamente, mostriamo come l'autovalore dell'Hamiltoniana imperturbata possa diventare una risonanza a causa della presenza dell'accoppiamento tra i canali. Infine, affrontiamo lo scattering multicanale e applichiamo i metodi tempo-indipendenti all'operatore effettivo a un canale, mostrando la presenza di picchi nella lunghezza di scattering associata. La novità fondamentale del lavoro è l'applicazione di metodi di scattering tempo-dipendenti. Il nostro contributo principale consiste infatti nel dimostrare l'esistenza e la completezza degli operatori d'onda per l'Hamiltoniana effettiva a un canale, garantendo una descrizione asintotica rigorosa del processo di scattering. Il risultato viene quindi esteso all'Hamiltoniana matriciale completa mediante l'applicazione del metodo del complemento di Schur.