Corrected theoretical foundations for a stochastic control problem with constraints and market impact

This thesis addresses a class of stochastic control problems involving functional interactions and memory effects. Inspired by recent contributions in optimal execution and energy storage management, we consider models based on integral operators (propagators) and analyze their mathematical properties. We begin by revisiting the theoretical framework proposed in Abi Jaber et al. (2024), with a focus on the constrained stochastic control formulation. We identify a gap in the existence proof of optimal controls and propose a correction using convex analysis techniques. Furthermore, we study a class of mean-field functional stochastic games introduced in recent literature. We provide detailed clarification of the fixed-point arguments and investigate the role of Fredholm-type integral equations in characterizing equilibria. Finally, we implement a stochastic Uzawa-type algorithm and a numerical framework in Python to approximate the solution of constrained control problems involving memory. These contributions aim to consolidate the theoretical foundations of this emerging research area and support further computational developments.

Questa tesi affronta una classe di problemi di controllo stocastico caratterizzati da interazioni funzionali e effetti di memoria. Partendo da recenti lavori su execution ottimale e gestione di batterie, analizziamo modelli basati su operatori integrali (propagatori) e ne studiamo le proprietà teoriche. Rivediamo il framework introdotto da Abi Jaber et al. (2024), concentrandoci sulla formulazione del con- trollo stocastico vincolato. Identifichiamo una lacuna nella dimostrazione dell’esistenza di controlli ottimali e proponiamo una correzione basata su tecniche di analisi convessa. Inoltre, approfondiamo una classe di giochi stocastici funzionali a campo medio. Forniamo chiarimenti sui pas- saggi del punto fisso e sul ruolo delle equazioni integrali di tipo Fredholm nella caratterizzazione dell’equilibrio. Infine, implementiamo un algoritmo di tipo Uzawa stocastico e un framework numerico in Python per approssi- mare la soluzione di problemi di controllo con memoria. Questi contributi rafforzano le basi teoriche di un filone di ricerca emergente e ne favoriscono lo sviluppo computazionale.