A free-boundary Grad-Shafranov finite element solver for Tokamak MHD equilibria

Nuclear fusion is considered one of the most promising long-term solutions to the global energy challenge. The leading approach for developing this technology consists in the confinement of plasma at very high temperature using strong external magnetic fields. Among magnetic confinement devices, the tokamak is currently the most promising design for the first fusion power plant. In this context, the study of plasma equilibrium configurations in tokamaks is of primary importance. These equilibria are typically described by a nonlinear elliptic partial differential equation, known as the Grad–Shafranov equation, which is derived from the magnetohydrodynamics (MHD) equations for plasma modeling. Since the location and shape of the confined plasma are not known a priori, the equilibrium configurations must be determined by solving a free-boundary problem, given the coil currents that generate the confining magnetic field. This work presents the development of an original equilibrium solver for the free-boundary Grad–Shafranov equation using the finite element method. The code has been implemented from scratch in Python using the Firedrake library and employs both Picard and Newton's algorithms to handle the strong nonlinearities of the problem. The solver supports different tokamak geometries and is capable of computing various classes of equilibrium configurations. Further developments could bring the solver closer in accuracy and reliability to commercial equilibrium codes. However, most of these operate as black boxes. On the other hand, the code presented in this thesis provides full control over the physical and numerical model and ensures transparency and extensibility for future studies of plasma equilibrium.

La fusione nucleare è considerata una delle soluzioni più promettenti per soddisfare la crescente domanda energetica globale nel lungo termine. L'approccio per lo sviluppo questa tecnologia consiste nel confinare un plasma a temperature molto elevate tramite forti campi magnetici esterni. Tra i dispositivi di confinamento magnetico, il tokamak rappresenta attualmente la configurazione più promettente per la realizzazione del primo reattore a fusione nucleare. In quest'ottica, lo studio delle configurazioni di equilibrio del plasma nei tokamak è di fondamentale importanza. Questi equilibri sono comunemente descritti da un'equazione differenziale ellittica non lineare, nota come equazione di Grad–Shafranov, che si ricava dalle equazioni della magnetoidrodinamica (MHD) utilizzate per descrivere i plasmi. La posizione e la forma del plasma confinato non sono note a priori, richiedendo la risoluzione di un problema a frontiera libera per determinare una configurazione di equilibrio a partire dalle correnti nelle bobine che generano i campi magnetici per il confinamento. In questo lavoro viene presentato lo sviluppo di un solutore originale per l’equazione di Grad–Shafranov a frontiera libera, basato sul metodo degli elementi finiti. Il codice è stato programmato da zero in Python utilizzando la libreria Firedrake ed implementa sia l'algoritmo di Picard che quello di Newton per gestire la forte nonlinearità del problema. Il solutore supporta diverse geometrie di tokamak ed è in grado di riprodurre diverse classi di equilibri. Ulteriori sviluppi potrebbero rendere il solutore paragonabile a codici commerciali in termini di precisione ed affidabilità. Tuttavia, molti di questi codici per il calcolo degli equilibri lavorano come black box. Al contrario, l'implementazione presentata in questa tesi consente di avere pieno controllo sul modello fisico e numerico, garantendo trasparenza ed estendibilità per studi futuri sugli equilibri di plasma.