Structural optimization for nonlinear dynamics: towards the optimization of dynamic nonlinearities in MEMS devices

The aim of this research is to present a novel optimization framework based on Spectral Submanifold (SSM) model reduction for tailoring the nonlinear dynamic response of geometrically nonlinear mechanical systems, with a particular focus on MEMS resonators and gyroscopes. The core contribution lies in leveraging SSM-based techniques to derive analytical expressions for the nonlinear frequency-amplitude relation of the selected mode shapes. Unlike continuation-based methods such as collocation or Harmonic Balance, the SSM approach eliminates dependence on user-defined numerical parameters. Furthermore, the accuracy of the reduced-order model is automatically controlled by adjusting the expansion order of the reduction. To achieve computational efficiency and scalability, the SSM reduction is implemented using a multi-index notation that outperforms traditional tensor-based formulations when handling high-dimensional polynomial expansions. Adjoint-based sensitivity analysis is developed within the reduced-order setting, enabling efficient gradient-based optimization in large design spaces, including topology optimization problems with thousands of variables. The framework is demonstrated through a series of parametric and topology optimization problems, which highlight its ability to tailor the nonlinear frequency-amplitude relation of mechanical systems. By integrating SSM-based model reduction, adjoint sensitivity analysis, and gradient-based optimization, this work provides a systematic and computationally efficient approach for optimizing dynamic nonlinearities in MEMS devices.

L’obiettivo di questa ricerca è presentare una nuova tecnica di ottimizzazione basata su modelli ridotti ottenuti tramite sottovarietà spettrale (Spectral Submanifold, SSM). Questo approccio è finalizzato all'ottimizzazione della risposta dinamica non lineare di sistemi meccanici caratterizzati da non linearità geometriche, con un'attenzione particolare a risonatori e giroscopi MEMS. Il contributo principale consiste nell'utilizzo di tecniche basate su SSM per ottenere espressioni analitiche che descrivono la relazione frequenza-ampiezza non lineare associata ad uno specifico modo di vibrare. A differenza dei metodi basati sulla continuazione numerica (numeric continuation), come la collocazione (collocation) o il bilanciamento armonico (Harmonic Balance), l’approccio SSM elimina la dipendenza da parametri numerici definiti dall’utente. Inoltre, l’accuratezza del modello ridotto è controllata automaticamente regolando l’ordine di espansione della riduzione. Per garantire efficienza computazionale e scalabilità, la riduzione SSM è implementata utilizzando una notazione a multi-indici (multi-index) che supera in efficienza le formulazioni tradizionali basate su tensori nella gestione di espansioni polinomiali ad alta dimensione. È stata inoltre sviluppata un’analisi di sensitività basata sul metodo dell'aggiunto (adjoint method) all’interno del modello ridotto, che consente un’ottimizzazione efficiente basata sul gradiente anche per casi studio di grandi dimensioni, compresi problemi di ottimizzazione topologica con migliaia di variabili di controllo. Il metodo è stato testato attraverso una serie di problemi di ottimizzazione parametrica e topologica, dimostrando la sua capacità di ottimizzare la relazione frequenza-ampiezza non lineare di sistemi meccanici. Integrando modelli ridotti basati su SSM, l’analisi di sensitività con il metodo dell'aggiunto e l’ottimizzazione basata sul gradiente, questo lavoro fornisce un approccio sistematico ed efficiente dal punto di vista computazionale per ottimizzare le non linearità dinamiche nei dispositivi MEMS.