A variational approach to Pontryagin's maximum principle for stochastic optimal control and stopping problems

This thesis develops a variational framework for deriving Pontryagin's Maximum Principle in stochastic optimal control and optimal stopping problems. We establish necessary optimality conditions for controlled stochastic differential equations using functional-analytic methods, specifically exploiting the differentiability of the control-to-state map and adjoint calculus via backward stochastic differential equations. The main contributions include: (i) a rigorous proof of the stochastic PMP using Gâteaux and Fréchet differentiability; (ii) an extension to problems with random terminal times, where the stopping time itself becomes part of the control; and (iii) applications to quadratic control problems and natural resource valuation. Even if the Dynamic Programming approach provides a global value-function characterization and, under regularity, sufficiency via the HJB equation, it often faces the curse of dimensionality and relies on viscosity-type solutions which may be hard to deal with.

Questa tesi sviluppa un quadro variazionale per derivare il Principio del Massimo di Pontryagin (PMP) nel contesto del controllo ottimale e dell'arresto ottimale stocastico. Saranno stabilite le condizioni necessarie di ottimalità per le equazioni stocastiche differenziali controllate utilizzando metodi funzionali e analitici, sfruttando, in particolare, la differenziabilità della mappa controllo-stato e il calcolo aggiunto attraverso delle equazioni stocastiche differenziali a ritroso. I principali contributi includono: (i) una dimostrazione rigorosa del PMP stocastico utilizzando la differenziabilità di Gâteaux e Fréchet; (ii) un'estensione ai problemi nei quali il tempo finale è casuale e fa parte del controllo stesso; e (iii) applicazioni a problemi di controllo quadratico e valutazione delle risorse naturali. Anche se l'approccio della Programmazione Dinamica fornisce una caratterizzazione globale della funzione di valore e, in condizioni di sufficiente regolarità, le condizioni sufficienti tramite la soluzione delle equazioni HJB, spesso si trova ad affrontare il problema della dimensionalità; inoltre, si basa su tecniche che comprendono le soluzioni di viscosità che possono risultare difficili da trattare.