Optimal control reinsurance problem for exogenous stochastic factor models

In this thesis we study an optimal reinsurance problem, with an excess-of-loss policy, where a stochastic factor influences both the intensity of claims and their distribution. Through stochastic control, exploiting the Hamilton-Jacobi-Bellman equation, we find the optimal strategy by maximizing the expected exponential utility of terminal wealth. We introduce a modelling of the exogenous stochastic factor through two-state Markov chains, describing the good state and the bad state of the economy, and we solve numeri- cally and analytically the maximization problem, under different formulations of stochastic premium principle. At last, we calibrate the exogenous stochastic factor and the transition intensity from one state to another, starting from real historical inflation data, performing numerical analysis, and providing sensitivity analysis of the optimal retention level through com- parative statics.

In questa tesi studiamo un problema di riassicurazione ottima riferito a contratti di tipo excess-of-loss, nel quale un fattore stocastico influenza sia l’intensità dei sinistri sia la loro distribuzione. L’obiettivo principale è determinare la strategia ottima dell’assicuratore, massimizzando l’utilità esponenziale attesa della ricchezza finale, mediante tecniche di controllo stocastico. In particolare, sfruttiamo il principio di programmazione dinam- ica e l’equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman, introducendo un’ansatz e verificandone la correttezza tramite verification theorem. Lo scopo della ricerca è duplice: da un lato fornire una trattazione matematicamente rigorosa e generale del problema di riassicurazione ottima in presenza di fattori esogeni esterni, dall’altro valutare quantitativamente come la variabilità del contesto economico incida sulle decisioni ottimali dell’assicuratore, fornendo un’analisi applicabile in contesti reali di gestione del rischio. Per modellizzare il fattore esogeno introduciamo due differenti formulazioni: nel primo caso tramite un’equazione differenziale stocastica, e nel secondo caso tramite una catena di Markov a due stati, rappresentativa di condizioni economiche “buone” e “cattive”. In tale contesto, risolviamo il problema di massimizzazione sia numericamente sia analiticamente, considerando differenti forme del premio stocastico, Expected Value Principle e Variance Premium Principle, e mostriamo come in un regime a due stati sia possibile derivare soluzioni in forma chiusa per il livello di ritenzione ottima. Nella parte finale del lavoro procediamo con la calibrazione del fattore esogeno e delle intensità di transizione della catena, utilizzando dati reali storici sull’inflazione per ripro- durre un reale regime macroeconomico. Effettuiamo inoltre, tramite analisi di sensitività e statica comparata, delle simulazioni numeriche che ci permettono di analizzare l’evoluzione nel tempo del livello di ritenzione ottimale e di valutare gli effetti marginali dei parametri sulla gestione del rischio riassicurativo.