A robust discontinuous Galerkin solver for inviscid flows

This work presents a high-order modal Discontinuous Galerkin method for the compressible Euler equations, designed to ensure a physically consistent entropy evolution at the fully discrete level. The proposed formulation extends the Direct Enforcement of Entropy Balance (DEEB) approach of Abgrall by introducing the correction term from [1] in conjunction with a modified elemental coefficient, which together yield an explicit scheme satisfying a fully discrete entropy inequality without restrictions on the choice of numerical flux. To handle strong shocks while preserving positivity, a shock-aware limiting strategy is developed. This limiter builds on the linear scaling limiter of Zhang and Shu [41], enhanced by exploiting the shock-detection capabilities of the DEEB coefficient. The scheme employs explicit time integration to maintain computational efficiency. The proposed solver is validated on one- and two-dimensional benchmark problems, demonstrating improved robustness, positivity preservation, and physical consistency compared to existing robust solvers. Future work will focus on extending the method to achieve kinetic energy preservation and to address the compressible Navier–Stokes equations.

Questo lavoro presenta un metodo Discontinuous Galerkin modale ad alto ordine per le equazioni di Eulero comprimibili, progettato per garantire una corretta evoluzione dell’entropia anche a livello discreto. La formulazione proposta estende la tecnica DEEB introdotta da Abgrall [1], introducendo un nuovo coefficiente in grado di assicurare una disuguaglianza entropica completamente discreta, indipendentemente dalla scelta del flusso numerico. Per gestire la presenza di forti discontinuità e preservare la positività delle variabili, è stata sviluppata una strategia di limitazione sensibile agli shock. Il limitatore proposto si basa sul limitatore lineare di Zhang e Shu [41], opportunamente potenziato sfruttando le capacità di rilevamento degli shock offerte dal coefficiente DEEB. L’integrazione temporale esplicita consente di mantenere elevata l’efficienza computazionale del metodo. Il risolutore è stato validato su una serie di test di riferimento mono- e bidimensionali, evidenziando maggiore robustezza, migliore conservazione della positività e superiore coerenza fisica rispetto ai risolutori robusti presenti in letteratura. Gli sviluppi futuri saranno dedicati all’estensione del metodo per garantire la preservazione dell’energia cinetica e all’applicazione alle equazioni di Navier–Stokes comprimibili.