La Brachistocrona restaurata: dalle soluzioni storiche ad un approccio moderno

One of the most celebrated problems in the history of mathematics is the Brachistochrone: to determine the curve along which a particle, sliding without friction and subject only to the force of gravity, reaches a point B from a higher point A in the shortest possible time. The problem was posed by Johann Bernoulli in 1696 as a challenge to the greatest mathematicians of the time. Correct solutions were provided not only by Johann himself, but also by his brother Jakob Bernoulli, Isaac Newton, Gottfried Leibniz, and the Marquis de l’Hopital, each using different and innovative approaches. The Brachistochrone holds a prominent place in the development of modern mathematics, as it represents one of the foundational problems of the calculus of variations, a branch of mathematics that plays a crucial role in modern physics. In this work, both the historical solutions and a modern one are presented, with the aim of “restoring” the classical ideas using analytical tools that were not available at the time.

Uno dei problemi più celebri della storia della matematica è quello della Brachistocrona: determinare la curva lungo la quale una particella, scivolando senza attrito, soggetta unicamente alla forza di gravità, raggiunge nel minor tempo possibile un punto B partendo da un punto A, situato sopra B. Il problema venne formulato da Johann Bernoulli nel 1696 come sfida rivolta ai più grandi matematici dell’epoca. Le soluzioni corrette furono fornite, oltre che dallo stesso Johann, dal fratello Jakob Bernoulli, da Isaac Newton, da Gottfried Leibniz e dal marchese De l’Hopital, ciascuno con approcci differenti e innovativi. La Brachistocrona occupa un posto di rilievo nello sviluppo della matematica moderna, poiché costituisce uno dei problemi fondativi del calcolo delle variazioni, ramo della matematica essenziale per gli sviluppi fisici moderni. In questa trattazione verranno presentate sia le soluzioni storiche sia una soluzione moderna con lo scopo di “restaurare” le idee classiche utilizzando gli strumenti di analisi non disponibili ai tempi.