On the applicability of Hopf bifurcation theory to a fluid-solid interaction problem

The present Master Thesis investigates the oscillatory behavior of a rigid elliptical body with two degrees of freedom immersed in a viscous Stokes flow confined within a channel. The motion of the coupled system is driven by a Poiseuille flow at spatial infinity with fixed amplitude $\lambda$. The governing equations for the dynamics problem are derived, and it is shown that the coupling between the vertical translation and the rotational torque of the body can give rise to self-sustained oscillations. By applying the Hopf bifurcation Theorem, we establish a criteria for the existence of nontrivial periodic solutions and characterize their stability as a function of key physical parameters of the problem, such as flow intensity and geometric configuration. In particular, if the relevant linearized operator meets suitable spectral properties, there exists a threshold $\lambda_c$ above which a bifurcating time-periodic branch stems out of the branch of steady state solutions. An additional contribution is the asymptotic computation of the torque generated by the parabolic inlet under small vertical displacements of the body. The resulting expression indicates that, in the regime of weak confinement, the torque has a destabilizing effect: it enhances rotational oscillations instead of restoring the body toward a rotational equilibrium state. This behavior is consistent with with theoretical predictions.

La presente Tesi Magistrale analizza il comportamento oscillatorio di un corpo rigido ellittico con due gradi di libertà immerso in un flusso viscoso di Stokes all'interno di un canale. Il moto del sistema accoppiato è alimentato da un flusso di Poiseuille di ampiezza fissa $\lambda$. Sono state derivate le equazioni che governano la dinamica stokesiana e si è dimostrato che l'accoppiamento tra lo spostamento verticale e la coppia rotazionale può indurre a oscillazioni auto-sostenute. Applicando il Teorema di biforcazione di Hopf, si stabilisce un criterio per l'esistenza di soluzioni periodiche non banali e se ne caratterizza la stabilità in funzione dei principali parametri fisici del problema, quali l'intensità del flusso e la geometria del sistema. In particolare, se l'operatore linearizzato d'interesse soddisfa opportune proprietà spettrali, esiste una soglia $\lambda_c$ oltre la quale si origina un ramo di soluzioni tempo-periodiche che si biforca da quello delle soluzioni stazionarie. Un contributo aggiuntivo è il calcolo asintotico della coppia generata dal profilo parabolico di ingresso in presenza di piccoli spostamenti verticali del corpo. L'espressione ottenuta indica che, nel regime di debole confinamento, tale coppia ha un effetto destabilizzante: essa amplifica le oscillazioni rotazionali invece di riportare il corpo verso uno stato di equilibrio rotazionale. Questo comportamento è coerente con le previsioni teoriche.