Game theoretic bounds for option pricing : a robust framework under quadratic variation constraints

Game theory is a branch of mathematics that models strategic interactions between rational players. Among its numerous applications, it can also be used to describe financial markets, where participants act strategically under uncertainty. In this study, we apply this theory to address one of the central problems in quantitative finance, that is, option pricing. Classical frameworks such as the Black and Scholes model are elegant and analytically tractable, but they depend on strong assumptions about the process that generates the data. When these assumptions are violated, model prices and hedges can become fragile. Here we develop a game theoretic approach that produces rigorous price bounds, valid across a wide range of admissible price paths. After introducing the basic concepts of both option pricing and game theory, we show how these two frameworks can be combined to obtain robust upper bounds. We model the market as a zero sum game between an investor and an adversary. At each step, the investor chooses a hedge, while the adversary selects a distribution of stepwise returns from an admissible set, subject to a martingale constraint that prevents arbitrage. The objective is regret minimization: we determine the minimum initial capital required to guarantee super replication of the option against any admissible path. The key element of the model is a pathwise constraint on variability. We control the quadratic variation through a total budget q^2 and, when needed, a stepwise cap m. Within these limits, the adversary can distribute variability over time and choose asymmetric upward and downward movements. This flexibility allows the model to reproduce features observed in real markets, such as volatility skew, and to capture asymmetric risks not represented by standard diffusion models. Starting from a simplified setting with zero interest rate, we derive both a closed form expression and a numerical algorithm for the upper bound of a European call option. We then extend the framework by introducing a positive interest rate, which makes the model more realistic. Given this extended model, we expand the analysis beyond plain vanilla options. In particular, we apply the numerical algorithm to price American options, analyzing how the exercise boundary evolves in the adversarial setting. Moreover, using the closed form bound, we infer digital option prices through the Breeden–Litzenberger relation and study the corresponding implied volatility smiles. In summary, this thesis formalizes the game theoretic model for option pricing, reproduces and extends the main results in the literature, and evaluates its applicability beyond the baseline case. Throughout, we discuss the strengths and limitations of the approach for each class of options considered.

La teoria dei giochi è un ramo della matematica che studia le interazioni strategiche tra soggetti razionali. Tra le sue numerose applicazioni, può essere utilizzata anche per descrivere i mercati finanziari, dove gli agenti agiscono in modo strategico in condizioni di incertezza. In questo studio, applichiamo questa teoria per affrontare uno dei problemi principali della finanza quantitativa, la valutazione delle opzioni. I modelli classici, come quello di Black e Scholes, sono eleganti e analiticamente trattabili, ma si basano su ipotesi molto forti riguardo la dinamica dei prezzi. Quando tali ipotesi non risultano verificate, i prezzi e le strategie di copertura ottenuti dal modello possono diventare poco affidabili. In questo lavoro sviluppiamo un approccio basato sulla teoria dei giochi che restituisce limiti di prezzo indipendenti da uno specifico modello probabilistico, validi per un’ampia classe di traiettorie dei prezzi. Dopo aver introdotto i concetti di base sul prezzo delle opzioni e sulla teoria dei giochi, mostriamo come i due ambiti possano essere combinati al fine di ottenere limiti superiori robusti. L'idea è di rappresentare il mercato come un gioco a somma zero tra un investitore e un avversario. Ad ogni passo temporale, l’investitore sceglie una strategia di copertura, mentre l’avversario seleziona una distribuzione dei rendimenti da un insieme vincolato, soggetta a un vincolo di martingala che esclude la possibilità di arbitraggio. L’obiettivo è minimizzare il regret, ovvero determinare il capitale iniziale minimo che garantisce una super-replicazione dell’opzione rispetto a qualsiasi sequenza di rendimenti ammissibili. L’elemento centrale del modello è un vincolo sul grado di variabilità dei rendimenti lungo il percorso. Controlliamo la variazione quadratica attraverso un budget totale q^2 e, se necessario, un limite stepwise m. Entro questi vincoli, l’avversario può distribuire la variabilità nel tempo e scegliere movimenti asimmetrici verso l’alto o verso il basso. Questa flessibilità consente al modello di riprodurre fenomeni osservati nei mercati reali, come la volatility skew, e di catturare rischi asimmetrici che non sono rappresentati dai modelli diffusivi standard. A partire da un’ipotesi semplificata con tasso di interesse nullo, deriviamo sia una formula in forma chiusa sia un algoritmo numerico per il limite superiore del prezzo di una call europea. Successivamente, estendiamo il modello introducendo un tasso di interesse positivo, così da rappresentare in modo più realistico le condizioni di mercato. Alla luce di tale estensione, espandiamo lo studio al prezzo di opzioni non europee. In particolare, applichiamo l’algoritmo numerico per trovare un limite superiore anche per le opzioni americane, analizzando come si modifica la frontiera di esercizio nel contesto competitivo. Inoltre, utilizziamo il limite in forma chiusa per le call per ottenere i prezzi delle opzioni digitali tramite la relazione di Breeden–Litzenberger e per studiare lo smile della volatilità implicita. In sintesi, la tesi formalizza il modello game theoretic per la valutazione delle opzioni, ne riproduce e amplia i risultati principali presenti in letteratura, e ne valuta l’applicabilità oltre il caso di base. Nel corso del lavoro vengono discusse le potenzialità e i limiti dell’approccio per ciascuna categoria di opzioni considerata.