Equilibrium solutions of the constrained pursuit-evasion game

Geostationary satellites play a critical role in delivering space-based services for both civilian and defense applications. However, the growing threat of intentional interference on spacecraft underscores the need for the development of effective evasive manoeuvre strategies. To preserve mission continuity, this challenge is formulated as a constrained pursuit–evasion game, a specific class of Differential Games. Despite their relevance in various aerospace and control scenarios, general theoretical results concerning the existence and uniqueness of solutions to such games remain limited. In this thesis, optimal control strategies are examined under the frameworks of Nash and Stackelberg equilibria, assuming that one or both spacecraft operate within prescribed range-latitude–longitude boundaries. The spacecraft motion is modelled in latitudinal coordinates, incorporating perturbative effects such as the $J_{22}$ harmonic, the third-body attraction, and the solar radiation pressure. Spatial constraints are managed through the implementation of a Recentred Logarithmic Barrier Function, which introduces a penalty term into the players’ cost functions. The resulting dynamics and barrier formulation lead to a highly nonlinear system, addressed using a Model Predictive Static Programming (MPSP) approach. This method enables both players’ strategies to be derived in analytical closed form, yielding a saddle-point solution and ensuring equilibrium conditions are met. Given the inherently non-cooperative nature of the interaction and the absence of a predefined game termination time, a receding horizon strategy is employed. Numerical simulations demonstrate the robustness and efficiency of the proposed framework across a range of initial conditions, path constraints, and equilibrium configurations.

I satelliti geostazionari svolgono un ruolo cruciale nella fornitura di servizi spaziali destinati sia ad applicazioni civili che militari. La crescente minaccia di interferenze intenzionali ai veicoli spaziali evidenzia la necessità di sviluppare strategie efficaci per l'esecuzione di manovre evasive. Al fine di garantire la continuità della missione, tale problema è formulato sottoforma di pursuit-evasion game vincolato, appartenente alla classe dei Differential Games. Nonostante la loro rilevanza in diversi ambiti aerospaziali e di controllo, i risultati teorici riguardanti l’esistenza e l’unicità delle soluzioni di tali problemi restano limitati. In questa tesi vengono analizzate strategie di controllo ottimale nell’ambito degli equilibri di Nash e di Stackelberg, assumendo che uno o entrambi i veicoli spaziali operino entro limiti prefissati di range, latitudine e longitudine. La dinamica dei veicoli spaziali è modellata in coordinate latitudinali, includendo effetti perturbativi quali l'effetto $J_{22}$, l’attrazione del terzo corpo e la pressione di radiazione solare. I vincoli di traiettoria sono implementati tramite l’utilizzo di una Funzione di Barriera Logaritmica Ricentrata, che introduce un termine di penalità nelle funzioni obiettivo dei giocatori. Le dinamiche del moto e la formulazione della barriera generano un problema fortemente non lineare, che viene affrontato mediante il Model Predictive Static Programming (MPSP). Tale metodo consente di ricavare in forma analitica chiusa per le strategie di entrambi i giocatori, ottenendo una soluzione che costituisce un punto di sella e che garantisce il soddisfacimento delle condizioni di equilibrio. Data la natura intrinsecamente non cooperativa del gioco e l’assenza di un tempo limite per la sua conclusione, viene adottata la tecnica dell'Orizzonte Temporale Recidivo. Le simulazioni numeriche dimostrano la robustezza e l’efficienza della metodologia proposta al variare delle condizioni iniziali, dei vincoli di traiettoria e delle configurazioni di equilibrio adottate.