Fixed Rank co-Kriging: a model for multivariate spatial prediction

This work develops a multivariate extension of the Fixed Rank Kriging (FRK) framework for spatial prediction in settings where multiple spatial processes may provide complementary information. The goal is to preserve the computational efficiency, the ability to operate without assuming stationarity over the domain, and the spatial support flexibility of FRK, while incorporating cross-process dependence. To this end, we employ a multiresolution coregionalization structure for the latent spatial effects, in which spatial basis functions are combined with Gaussian Markov Random Field coefficients. An estimation procedure based on the EM algorithm is developed, designed to exploit the multiresolution latent structure. Through simulation studies, we examine when the proposed joint modeling is beneficial. We consider cases in which one process is observed more sparsely or is entirely unobserved in a subregion and find that the multivariate formulation is able to borrow information from the more densely observed process, producing coherent and accurate predictions even where direct observations are limited or absent. Finally, the model is applied to the analysis of PM10 concentrations in Northern Italy, illustrating its applicability in a real environmental context.

Questo lavoro propone un’estensione multivariata del modello Fixed Rank Kriging (FRK) per la previsione spaziale in contesti in cui più processi spaziali possono fornire informazioni complementari. L’obiettivo è mantenere l’efficienza computazionale, l'assenza dell'assunzione di stazionarietà sul dominio e la flessibilità di FRK nel trattare diversi supporti spaziali, introducendo al tempo stesso una struttura in grado di descrivere la dipendenza tra variabili. A tale scopo viene adottata una struttura di coregionalizzazione multirisoluzione per gli effetti spaziali latenti, rappresentati come combinazione lineare di funzioni base con coefficienti modellati come campi aleatori di Markov gaussiani (GMRF). La stima dei parametri è condotta tramite un’implementazione dell’algoritmo EM, specificatamente sviluppata per sfruttare la struttura gerarchica e multirisoluzione del modello. Attraverso una serie di simulazioni vengono analizzate le condizioni in cui l’impiego di una modellizzazione multivariata risulta più vantaggioso, in particolare quando uno dei processi è osservato in modo più sparso o risulta non osservato in alcune sottoregioni. In tali casi, la formulazione proposta dimostra di integrare efficacemente l’informazione proveniente dal processo più densamente osservato, fornendo stime coerenti e accurate anche in assenza di dati diretti. Infine, il modello è applicato all’analisi delle concentrazioni di PM10 nel Nord Italia, a conferma della sua efficacia e applicabilità in un contesto ambientale reale.