Quasi-classical limit of the Jaynes-Cummings model

The Jaynes–Cummings (JC) model describes the interaction between a two-level quantum system and a single mode of a quantized bosonic field. Despite its apparent simplicity, it captures essential features of light–matter interaction and is widely employed in the study of quantum electrodynamics, quantum optics, and quantum information theory. This thesis investigates the quasi-classical limit of the JC model, i.e., the regime in which the quantized field behaves classically while the atomic degrees of freedom retain their quantum nature. Starting from the general theory of open quantum systems and the microscopic Hamiltonian formulation, we analyze the mathematical structure of the JC dynamics and its properties, such as self-adjointness, symmetries, and spectrum. The study is then extended to the quasi-classical regime using tools from Weyl quantization and Wigner measures, allowing for a precise characterization of the correspondence between quantum and classical observables. Finally, the quasi-classical limit is performed on a rescaled JC Hamiltonian for three different initial states of the bosonic reservoir: a condensate state, a coherent state, and a thermal state. An explicit asymptotic effective dynamics is retrieved for the first two cases, while in the latter, a numerical simulation is carried out to clarify the behavior of the off-diagonal terms in the spin density matrix. The obtained results clarify how classical behavior emerges from the quantum model in the appropriate scaling limit and contribute to the understanding of decoherence effects in the analyzed cases.

Il modello di Jaynes-Cummings (JC) ha un'importanza significativa nella descrizione dell'interazione tra un sistema quantistico a due livelli e un singolo modo di un campo bosonico quantizzato. Ampiamente utilizzato nell'elettrodinamica e nell'ottica quantistica, questo modello, nonostante la sua apparente semplicità, è in grado di descrivere gli aspetti principali dell'interazione luce-materia. Questa tesi studia il limite quasi-classico del modello di JC, ovvero il regime in cui il campo bosonico assume un comportamento classico a causa del grande numero di eccitazioni, mentre il sistema di spin mantiene la sua natura quantistica. Il punto di partenza dello studio sono la teoria dei sistemi quantistici aperti e la formulazione microscopica dell'Hamiltoniana di JC, di cui sono analizzate proprietà come l'autoaggiunzione, le simmetrie e lo spettro. Successivamente, è descritto il regime quasi-classico, facendo riferimento alla quantizzazione di Weyl e alle misure di Wigner, costruendo una precisa corrispondenza tra osservabili classiche e quantistiche. L'ultimo capitolo è infine dedicato al limite quasi-classico del modello per tre differenti stati iniziali del campo: uno stato condensato, uno stato coerente ed uno stato termico. Nei primi due casi, è stato possibile ricavare esplicitamente la dinamica efficace nel limite, nell'ultimo, invece, una simulazione numerica ha permesso di chiarire il comportamento dei termini anti-diagonali della matrice di densità di spin. I risultati ottenuti permettono di sottolineare come un comportamento classico emerga dal modello quantistico e contribuiscono a chiarire lo sviluppo di effetti di decoerenza nei casi di riferimento.