Blow-up for a semilinear equation on graphs

The study of semilinear parabolic equations on graphs has recently attracted growing interest in the field of partial differential equations, owing to its effectiveness in modeling diffusion–reaction phenomena on discrete and complex structures. This thesis investigates a heat equation with a nonlinear reaction term defined on infinite weighted graphs, with the aim of establishing existence and global existence results for non-negative bounded solutions. The discussion begins by recalling classical results in the Euclidean setting before transitioning to the discrete framework. In this context, Kaplan’s method is adapted and employed to identify conditions under which solutions blow up in finite time. Particular attention is devoted to specific families of graphs, including the integer lattice and homogeneous model trees. Finally, global existence results are derived for selected classes of graphs by means of semigroup theory and the explicit construction of global mild super-solutions. Overall, the findings underscore the crucial influence of graph geometry on the qualitative behaviour of solutions.

Lo studio delle equazioni paraboliche semilineari su grafi ha recentemente suscitato un crescente interesse nell’ambito delle equazioni alle derivate parziali, grazie alla sua efficacia nel modellizzare fenomeni di diffusione e reazione su strutture discrete e complesse. Questa tesi analizza un’equazione del calore con termine di reazione non lineare definita su grafi pesati infiniti, con l’obiettivo di stabilire risultati di esistenza e di esistenza globale per soluzioni limitate e non negative. La discussione prende avvio richiamando i risultati classici nel contesto euclideo, per poi passare al caso discreto. In questo ambito, il metodo di Kaplan viene adattato e impiegato per individuare le condizioni che determinano il blow-up delle soluzioni in tempo finito. Particolare attenzione è dedicata a specifiche famiglie di grafi, tra cui il reticolo intero e gli alberi omogenei. Infine, vengono ottenuti risultati di esistenza globale per alcune classi di grafi mediante strumenti di teoria dei semigruppi e la costruzione esplicita di sopra-soluzioni globali di tipo mild. Nel complesso, le analisi evidenziano l’influenza determinante della geometria del grafo sul comportamento qualitativo delle soluzioni.