Data-based underapproximation of the basin of attraction for nonpolynomial systems by sum-of-squares

Finding the basin of attraction (BOA) of an equilibrium for a nonlinear system is a complex problem and a numerical exact solution typically requires significant computational power. Alternatively, a very common approach finds an underapproximation of the BOA as the largest sublevel set included in the set where the derivative of the Lyapunov function along solutions is negative. First, we test the expanding-interior algorithm from the literature. This method relies on sum-of-squares (SOS) programming, which provides computationally efficient sufficient conditions to check whether a polynomial is nonnegative. To use SOS programs for systems with nonpolynomial dynamics, their dynamics must first be recast into polynomial ones. The expanding-interior algorithm is then applied to a power system, which has nonpolynomial dynamics, and to the dynamics of a rigid body; the results are compared to those of another method in the literature. Then, we propose a data-based expanding-interior algorithm, which uses noisy data instead of the knowledge on the dynamics of the system. We prove that the resulting underapproximation of the BOA is valid for all systems that can explain the noisy data we collected. The data-based expanding-interior algorithm is then applied to the previous power system and dynamics of a rigid body; the results are compared to those of another recent data-based method in the literature. Besides validation of the proposed method, the comparison shows that it achieves a larger underapproximation of the BOA at the cost of some additional computational complexity.

Ricavare il bacino di attrazione (BOA) di un equilibrio per un sistema nonlineare è un problema complesso e una soluzione numerica esatta richiede tipicamente una significativa potenza computazionale. In alternativa, un approccio molto comune è ricavare una sotto-approssimazione del BOA come il più grande insieme di sotto-livello incluso nell’insieme in cui la derivata della funzione di Lyapunov lungo le soluzioni è negativa. In prima battuta, si testa l’algoritmo a espansione di parte interna dalla letteratura. Questo metodo si basa su programmazione a somma-di-quadrati (SOS), che fornisce condizioni sufficienti computazionalmente efficienti per verificare se un polinomio è non-negativo. Per usare programmi SOS per sistemi con dinamica non-polinomiale, la loro dinamica va preliminarmente riformulata in una dinamica polinomiale. L’algoritmo a espansione della parte interna è poi applicato a un sistema di potenza, che possiede una dinamica non-polinomiale, e alla dinamica di un corpo rigido; i risultati sono confrontati con quelli di un altro metodo in letteratura. In seconda battuta, si propone un algoritmo a espansione di parte interna da dati, che usa dati rumorosi invece della conoscenza della dinamica del sistema. Si mostra che la risultante sotto-approssimazione del BOA è valida per tutti i sistemi che riescono a spiegare i dati rumorosi raccolti. L’algoritmo a espansione di parte interna da dati è successivamente applicato al sistema di potenza e alla dinamica di un corpo rigido precedenti; i risultati sono confrontati con quelli di un altro recente metodo da dati in letteratura. Oltre alla validazione del metodo proposto, il confronto mostra che esso ottiene una sotto-approssimazione più grande del BOA al costo di complessità computazionale aggiuntiva.