Moment methods for rarefied gas flows: evaluation of closure models and development of an improved second-order reconstruction

The simulation of rarefied gases remains a central challenge in aerospace engineering, as in many practical applications the flow field spans from near-continuum to highly rarefied conditions. In these regimes, classical fluid or kinetic models alone cannot deliver accurate and efficient predictions. Moment methods offer a compelling alternative, as they provide a macroscopic formulation that incorporate additional non-equilibrium effects. This work investigates the ability of moment methods to resolve one-dimensional shock structures in supersonic rarefied gases. Several closures for the five-moment system are examined: classical Grad, Linearized Grad, HMBMM, HyQMOM, and Bi-Gaussian. Their performance is evaluated under various flow conditions, with different levels of rarefaction and Mach numbers. Accuracy is assessed against deterministic solutions of the BGK equation computed via the Discrete Velocity Method. In addition, a revised second-order MUSCL-type reconstruction is introduced to improve spatial accuracy while preserving the realizability of the moment set. Results show that the Bi-Gaussian closure yields the most accurate solutions but loses realizability at higher Mach numbers. The Linearized Grad model attains a good compromise between accuracy and robustness, though its performance deteriorates when its convergence parameters are not precisely defined, especially in near-continuum or for stronger shock structures. HyQMOM stands out for its computational efficiency and remains robust at high Mach numbers, but it develops numerical sub-shocks unless additional kinetic information is retained. The HMBMM closure proves computationally expensive and, due to the absence of global hyperbolicity, is limited in terms of robustness, placing its performance only slightly above the baseline Grad model. In terms of numerical methods, the proposed reconstruction significantly improves solution quality across all closures, effectively achieving second-order accuracy.

La simulazione accurata di gas rarefatti rimane una sfida centrale nell'ingegneria aerospaziale, poiché in molte applicazioni il campo di flusso si estende su regimi che variano dal continuo all’altamente rarefatto. In queste condizioni, i modelli fluidodinamici o cinetici classici non forniscono da soli previsioni al tempo stesso accurate ed efficienti. I metodi dei momenti offrono un'alternativa interessante, restituendo una formulazione macroscopica arricchita da termini di non equilibrio. Questa tesi studia la capacità dei metodi dei momenti di risolvere strutture d'urto unidimensionali in gas rarefatti supersonici. Per il sistema a cinque momenti vengono analizzate diverse strategie di chiusura: Grad, Grad linearizzato, HMBMM, HyQMOM e la chiusura bi-gaussiana. Le loro prestazioni sono valutate in diverse condizioni di rarefazione e numero di Mach, con accuratezza valutata rispetto a soluzioni dell'equazione BGK calcolate tramite il metodo delle velocità discrete. Inoltre, viene introdotta una ricostruzione di secondo ordine, sviluppata per migliorare l'accuratezza spaziale preservando la realizzabilità dell'insieme dei momenti. I risultati mostrano che la chiusura bi-gaussiana è la più accurata, ma perde realizzabilità a numeri di Mach elevati. Il modello Grad linearizzato offre un buon equilibrio tra precisione e robustezza, pur mostrando limiti quando i suoi parametri non sono definiti con precisione, in particolare in regimi quasi-continui ad alto Mach. HyQMOM risulta il più efficiente e rimane robusto ad alti Mach, benché possa generare sotto urti numerici se non si conservano ulteriori momenti. Il metodo HMBMM, privo di iperbolicità globale e computazionalmente oneroso, introduce artefatti numerici che lo collocano solo leggermente al di sopra del modello di Grad di base. Dal punto di vista numerico, la ricostruzione proposta migliora sensibilmente la qualità delle soluzioni per tutte le chiusure, consentendo di ottenere una precisione effettiva di secondo ordine.