Optimal control problems for stochastic Volterra Integral Equations

This work develops a comprehensive framework for solving stochastic optimal control problems where the controlled state dynamics are governed by Stochastic Volterra Integral Equations (SVIEs) with convolution-type kernels. Unlike standard Markovian systems, SVIEs exhibit memory effects and path-dependent behavior, making classical dynamic programming techniques inapplicable. To address this challenge, we employ a lifting approach that embeds the original non-Markovian SVIE into an infinite-dimensional Markovian framework. To this end, we introduce a Stochastic Evolution Equation (SEE) in the infinite dimensional space, and show that the Markovian solution to the associated SEE can represent the solution of the SVIE. We present two alternative lifting methodologies: one in a Hilbert space setting, extending previous work of Hamaguchi (2024) on uncontrolled SVIEs to the controlled case, and another in the L1 space, generalizing existing linear-quadratic results in Abi Jaber et al. (2021) to a broader class of control problems. Under standard Lipschitz and linear growth conditions, we prove existence and uniqueness of a solution to both the SVIE and SEE. Within this lifted Markovian framework, we formulate the control problem using a weak formulation approach via Girsanov-type change of measures. The optimal control problem is then solved using Backward Stochastic Differential Equation (BSDE) techniques. We establish existence and well-posedness results for the associated BSDE and prove that its solution characterizes the value function of the optimal control problem. Furthermore, we demonstrate the existence of optimal controls in feedback form. The theoretical framework is validated through two practical applications: an optimal advertising problem and an optimal execution problem, illustrating the applicability of our methods to real-world scenarios.

Questo lavoro sviluppa un quadro teorico completo per la risoluzione di problemi di controllo ottimale stocastico in cui la dinamica dello stato controllato è governata da Equazioni Integrali di Volterra Stocastiche (SVIE) con kernel di tipo convoluzionale. A differenza dei sistemi Markoviani standard, le SVIE presentano effetti di memoria e un comportamento dipendente dal cammino, rendendo inapplicabili le tecniche classiche di programmazione dinamica. Per affrontare questo problema, adottiamo un approccio di lifting che incorpora la SVIE non markoviana originale in un contesto markoviano infinito-dimensionale. A tal fine, introduciamo un’Equazione di Evoluzione Stocastica (SEE) nello spazio infinito-dimensionale e mostriamo che la soluzione Markoviana associata alla SEE può rappresentare la soluzione della SVIE. Presentiamo due metodologie alternative di lifting: una in un contesto di spazio di Hilbert, estendendo il lavoro precedente di Hamaguchi (2024) sulle SVIE non controllate al caso controllato, e un’altra nello spazio L1, generalizzando i risultati per il caso lineare-quadratico esistenti in Abi Jaber et al. (2021) a una classe più ampia di problemi di controllo. Sotto condizioni standard di Lipschitzianità e di crescita lineare, dimostriamo l’esistenza e l’unicità di una soluzione sia per la SVIE che per la SEE. All’interno di questo quadro Markoviano sollevato, formuliamo il problema di controllo utilizzando un approccio in forma debole tramite un cambiamento di misura alla Girsanov. Il problema di controllo ottimale viene quindi risolto utilizzando tecniche basate su Equazioni Differenziali Stocastiche Backward (BSDE). Mostriamo che la BSDE associata al probelma di controllo è ben posta, e stabiliamo risultati di esistenza e unicità. Inoltre dimostriamo che la sua soluzione caratterizza il valore del problema di controllo ottimale. Infine, dimostriamo l’esistenza di controlli ottimali in forma feedback. La teoria viene infine validata attraverso due applicazioni pratiche: un problema di pubblicità ottimale e un problema di esecuzione ottimale, che illustrano l’applicabilità dei nostri metodi a scenari reali.