Disequilibrium two-phase flows: efficient solution and relaxation interphase transfer model assessment

A novel solver for the Baer-Nunziato two-phase model with simultaneous finite-rate volumetric, momentum, heat, and mass transfer is proposed. The solver is based on a splitting approach, where the hyperbolic operator associated with the convective and acoustic portion, and the relaxation operator associated with the local interphase transfer processes are solved in sequence. The proposed solver makes use of primitive variables in both operators to reduce the computational cost of the highly accurate Span-Wagner equation of state, without approximating thermodynamic modeling. The proposed hyperbolic solver consists of a time-explicit scheme, whereby the partial energy equations are updated through a generic primitive variable conservatively. Conservation is achieved by introducing a thermodynamic constraint to a linearized primitive update formula, with results confirming energy imbalance remains below machine precision and shock speeds are captured correctly. Updating temperature in place of energy yields a significant computational speed-up, with no quantitative impact on the solution quality. The hyperbolic solver is verified through a series of one-dimensional problems with different equations of state, including two non-classical two-fluid Riemann problems. For the latter, the exact solutions have been computed using a novel exact non-classical Riemann solver, which is also presented in this thesis. The proposed relaxation solver is based on an adaptive subtime-stepping approach where, within each subtime-step, the solution is updated using the analytical solution of a linearized version of the relaxation system. To minimize the loss of non-linearity from the linearization of the equations, these are rewritten in terms of thermodynamic interphase disequilibria. Thanks to the alternative formulation, the analytical solution can be computed, retaining a sufficiently high non-linear character, therefore limiting the number of subtime-steps required for a robust and accurate solution. The relaxation solver is verified against a state-of-the-art multipurpose ODE integrator, showing a lower error convergence rate but significantly higher robustness and accuracy for low subtime-step counts. Furthermore, as the stiffness of the problem increases, so does the computational cost of the multipurpose ODE integrator, reaching prohibitive CPU times for the stiffest cases. On the other hand, the proposed relaxation solver is characterized by a relatively constant computational cost, which is around half the CPU time of the best multipurpose ODE integrator case. To assess the applicability for engineering applications of the Baer-Nunziato model with relaxation interphase transfer terms, a simple estimation approach is proposed for cases where no closure is available for the relaxation parameters. The complete proposed solver is validated in several disequilibrium cases by comparing against experimental data and other numerical approaches. Each case presented is dominated by one specific interphase transfer process, although more than one may be occurring concurrently. In a fluidized bed and a droplet tracking case, mechanical relaxation dominates the solution, and good experimental agreement is obtained. For these instances, closures for the relaxation parameters are already available in the literature for most applications. In two flashing nozzle experiments, one in condensation conditions and one in evaporation conditions, mass transfer dominates the flow solution. The proposed estimation approach yields good results, with great agreement with other models and experiments. The absence of topological information in the Baer-Nunziato equations is shown to limit the applicability of the model when nucleation rates play a major role in the mass transfer process. In particular interface heat exchange conditions, the symmetry assumption underlying the relaxation interphase transfer model is unable to accurately capture the physics. A proposed extension of the model improves the agreement with experimental results, as shown in an evaporating suspended droplet case.

Viene proposto un nuovo solutore per il modello bifase di Baer–Nunziato con trasferimenti interfasici volumetrici, di quantità di moto, di calore e di massa a velocità finita e simultanei. Il solutore si basa su un approccio di splitting, in cui l’operatore iperbolico associato alla parte convettiva e acustica, e l’operatore di rilassamento associato ai processi locali di scambio interfasico vengono risolti in sequenza. Il solutore proposto utilizza variabili primitive in entrambi gli operatori per ridurre il costo computazionale associato alla accurata equazione di stato di Span–Wagner, senza introdurre approssimazioni della modellazione termodinamica. Il solutore iperbolico proposto consiste in uno schema esplicito nel tempo, nel quale le equazioni dell’energia parziale vengono aggiornate tramite una generica variabile primitiva in modo conservativo. La conservazione è ottenuta introducendo un vincolo termodinamico in una formula di aggiornamento primitiva linearizzata; i risultati confermano che il disequilibrio energetico rimane al di sotto della epsilon di macchina, e che le velocità delle onde d'urto sono catturate correttamente. L’aggiornamento della temperatura al posto dell’energia comporta un significativo incremento della velocità computazionale, senza alcun impatto quantitativo sulla qualità della soluzione. Il solutore iperbolico è verificato mediante una serie di problemi monodimensionali con varie equazioni di stato, inclusi due problemi di Riemann bi-fluido non classici. Per questi ultimi, le soluzioni esatte sono state calcolate utilizzando un nuovo solutore esatto di Riemann non classico, anch’esso presentato in questa tesi. Il solutore di rilassamento proposto si basa su un approccio adattivo a sotto‐passi temporali in cui, all’interno di ciascun sotto‐passo, la soluzione viene aggiornata utilizzando la soluzione analitica di una versione linearizzata del sistema di equazioni di rilassamento. Per minimizzare la perdita di non linearità dovuta alla linearizzazione delle equazioni, queste vengono riscritte in termini di disequilibri termodinamici interfasici. Grazie a questa formulazione alternativa la soluzione analitica può essere calcolata mantenendo un carattere non lineare sufficientemente elevato, limitando quindi il numero di sotto‐passi temporali necessari per una soluzione robusta ed accurata. Il solutore di rilassamento è verificato confrontandolo con un integratore di equazioni differenziali ordinarie multiuso allo stato dell’arte, dimostrando un tasso di convergenza dell’errore inferiore, ma una robustezza e un’accuratezza significativamente migliorate per bassi numeri di sotto‐passi temporali. Inoltre, all’aumentare della rigidità del problema aumenta anche il costo computazionale dell’integratore di equazioni differenziali ordinarie multiuso, fino a raggiungere tempi di computazione proibitivi per i casi più rigidi. Al contrario, il solutore di rilassamento proposto in questa tesi è caratterizzato da un costo computazionale relativamente omogeneo, pari a circa la metà del tempo di computazione del miglior caso dell’integratore multiuso. Con l'obbiettivo di valutare l’applicabilità del modello di Baer–Nunziato con termini di rilassamento modellanti lo scambio interfasico per applicazioni ingegneristiche, viene proposto un semplice approccio di stima per i casi in cui non siano disponibili chiusure per i parametri di rilassamento. Il solutore completo proposto viene validato in diversi casi di disequilibrio confrontando i risultati con dati sperimentali ed altri approcci numerici. Ogni caso presentato è dominato da uno specifico processo di scambio interfasico, anche se più di uno può occorrere simultaneamente. In un letto fluidizzato e in un caso di tracciamento di gocce, il rilassamento meccanico domina la soluzione e si ottiene un buon accordo con i dati sperimentali. Per questi casi, in letteratura sono già disponibili chiusure per i parametri di rilassamento per la maggior parte delle applicazioni. In due esperimenti di ugello presentanti flashing, uno in condizioni di condensazione e uno in condizioni di evaporazione, lo scambio di massa domina la soluzione del flusso. L’approccio di stima proposto fornisce buoni risultati, con un ottimo accordo con altri modelli e con gli esperimenti. Viene inoltre dimostrato che l’assenza di informazioni topologiche nelle equazioni di Baer–Nunziato limita l’applicabilità del modello quando i tassi di nucleazione svolgono un ruolo dominante nel processo di scambio di massa. In particolari condizioni di scambio termico all’interfaccia, l’ipotesi di simmetria alla base del modello di rilassamento per lo scambio interfasico non è in grado di catturare accuratamente la fisica del fenomeno. Un’estensione proposta del modello migliora l’accordo con i risultati sperimentali, come mostrato nel caso di una goccia sospesa in evaporazione.