Nonparametric methods for spatial and functional data over non-convex multidimensional supports

The object of this thesis is the analysis of functional and spatial data defined over non-convex multidimensional supports. These data share several challenging features and often violate the parametric assumptions underlying most methods developed for data defined on one-dimensional supports. To properly address these challenges, we propose to employ nonparametric statistical approaches. Within this framework, we investigate two main problems: uncertainty quantification in a semiparametric regression model and the ranking of partially observed functional data. In the first setting, we develop a collection of parametric and nonparametric inference methods for both the linear and nonlinear components of a Spatial Regression model with Partial Differential Equation regularization. The proposed nonparametric tests, based on sign-flipping of the model’s score residuals, achieve accurate Type-I error control and high power. These performances are superior to those of classical parametric Wald-type approaches commonly used for inference in similar regression models. Concerning the ranking of functional data, we propose a novel depth measure for functional data defined over multidimensional, non-convex supports that may be irregularly observed or missing over large portions of the support of the data. For both the problems considered in this thesis, we resort to an appropriate numerical discretization to represent the complex support where the data are observed and to discretize the infinite dimensional problems to be solved. In the first part of this thesis, we consider the Delaunay triangulation of the support of the data and the associated finite element discretization of the estimation problem. For the depth measure introduced in the second part of the thesis, we employ a Voronoi tessellation of the support to handle the complex geometry of the data. The proposed method is consistent and demonstrates superior performance compared to existing functional and multivariate depth measures.

L’obiettivo della presente tesi è l’analisi di dati funzionali e spaziali definiti su domini multidimensionali non convessi. Tali dati sono caratterizzati da vari livelli di complessità e spesso non soddisfano le assunzioni parametriche su cui si basano la maggior parte dei metodi sviluppati per dati definiti su domini unidimensionali. Al fine di affrontare in modo adeguato tali problematiche, si propone l’impiego di approcci statistici non parametrici. In questo contesto vengono esaminati due problemi statistici: la quantificazione dell’incertezza in un modello di regressione semiparametrico e l’ordinamento di dati funzionali parzialmente osservati. Nel primo ambito, viene sviluppata una collezione di metodi di inferenza parametrici e nonparametrici per le componenti lineari e non-lineari di un modello di Regressione Spaziale con regolarizzazione alle Derivate Parziali. I test nonparametrici proposti, basati sul sign-flipping degli score del modello, garantiscono un controllo accurato dell’errore di primo tipo e un’elevata potenza statistica. Le prestazioni ottenute risultano superiori rispetto a quelle dei tradizionali approcci parametrici di tipo Wald, comunemente impiegati in letteratura per l’inferenza in modelli di regressione analoghi. Per quanto riguarda il problema dell’ordinamento dei dati funzionali, viene introdotta una nuova misura di profondità per dati funzionali definiti su supporti multidimensionali non convessi, eventualmente osservati irregolarmente o completamente mancanti su ampie porzioni del dominio. Per entrambi i problemi affrontati in questa tesi, adottiamo un’adeguata discretizzazione numerica al fine di rappresentare il dominio complesso in cui i dati sono osservati e di discretizzare i problemi di natura infinito-dimensionale da risolvere. Nella prima parte della tesi, consideriamo la triangolazione di Delaunay del dominio dei dati e la relativa discretizzazione agli elementi finiti del problema di stima. Per la misura di profondità introdotta nella seconda parte, utilizziamo invece una tassellazione di Voronoi del dominio, che consente di gestire la complessa geometria dei dati. Il metodo proposto risulta consistente e mostra prestazioni superiori rispetto alle principali misure di profondità funzionali e multivariate presenti in letteratura.