Learning time-dependent PDE dynamics with variable initial conditions via latent representations

The numerical approximation of time-dependent partial differential equations (PDEs) is a cornerstone of scientific computing and engineering, yet it remains computationally demanding when high-dimensional systems must be solved repeatedly for varying initial conditions. Classical discretization-based solvers and projection-based reduced-order models often struggle to balance accuracy, efficiency, and generalization, particularly in nonlinear and many-query settings. In this context, neural surrogate models based on implicit neural representations and latent dynamics have emerged as promising alternatives, although achieving reliable generalization across varying initial conditions remains an open challenge. This thesis extends the Latent Dynamics Network (LDNet) framework, to improve adaptability and generalization with respect to initial conditions for time-dependent PDEs. In particular, it investigates whether autodecoder-based latent dynamics models can learn compact latent representations that enable fast adaptation to unseen initial states while preserving predictive accuracy. Additionally, a meta-learning variant inspired by the Fast Context Adaptation via Meta-Learning (CAVIA) paradigm is introduced to further enhance rapid adaptation. The proposed methods are validated on two representative test cases. A linear advection–diffusion–reaction equation is employed to analyze latent dimensionality, stability, and generalization under time-dependent inputs, while the unsteady two-dimensional Navier–Stokes equations are considered as a more complex benchmark. Overall, this work contributes to the development of data-driven reduced-order models for PDEs, highlighting the potential of combining implicit neural representations, latent dynamics, and meta-learning for fast and reliable predictions under varying initial conditions.

La risoluzione numerica delle equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE) dipendenti dal tempo costituisce un elemento fondamentale in numerose applicazioni ingegneristiche e scientifiche, ma risulta computazionalmente onerosa quando si affrontano problemi ad alta dimensionalità con molteplici condizioni iniziali. I metodi classici basati sulla discretizzazione spazio-temporale e i modelli di riduzione dell'ordine totale del sistema presentano spesso limitazioni in termini di generalizzazione, accuratezza e costo computazionale, specialmente in presenza di dinamiche non lineari. Negli ultimi anni, i modelli neurali basati su rappresentazioni neurali implicite e dinamiche latenti hanno dimostrato un notevole potenziale sebbene la capacità di generalizzare rispetto allo spazio delle condizioni iniziali sia rimasta una questione aperta. Questa tesi affronta tale sfida estendendo il framework delle Latent Dynamics Networks (LDNet) con l'obiettivo di migliorare l'adattabilità e la generalizzazione rispetto a condizioni iniziali non viste. L'obiettivo principale del lavoro è valutare se modelli di dinamica latente basati su autodecoder siano in grado di apprendere rappresentazioni latenti compatte e facilmente adattabili, mantenendo al contempo un'elevata accuratezza predittiva. L'architettura proposta combina rappresentazioni neurali implicite per la ricostruzione di campi spazio-temporali continui con modelli di dinamica latente, evitando l'uso di autoencoder espliciti. Viene inoltre proposta una variante di meta-learning ispirata al paradigma sviluppato in Fast Context Adaptation Via Meta-Learning (CAVIA) per investigare la capacità del modello di adattarsi a nuove condizioni iniziali. Le prestazioni dei due metodi sono valutate su due casi di studio rappresentativi. Il primo riguarda un'equazione lineare di avvezione–diffusione–reazione, utilizzata per analizzare sistematicamente la dimensione latente, la stabilità e la capacità di generalizzazione in presenza di ingressi dipendenti dal tempo. Il secondo caso considera le equazioni di Navier–Stokes bidimensionali non stazionarie. Nel complesso, il lavoro contribuisce allo sviluppo di modelli ridotti data-driven per PDEs, evidenziando il potenziale della combinazione tra rappresentazioni neurali implicite, dinamiche latenti e meta-learning per applicazioni di modelli surrogati in fluidodinamica e in altri contesti ingegneristici complessi.