The emergence of bound states in weakly confined quantum systems: an exactly solvable model in 1D

This thesis investigates the mathematical and physical properties of a one-dimensional quantum Hamiltonian operator $H_\alpha$ comprising a pair of zero-range singular potentials of Dirac delta type. The primary objective is to study some notable asymptotic features of $H_\alpha$ as the interaction strength $\alpha$ tends to infinity. The limit operator, denoted by $H_\infty$, describes a system decoupled into three independent regions with Dirichlet boundary conditions at the interfaces. A fundamental spectral discrepancy emerges in this limit: while $H_\alpha$ possesses a purely absolutely continuous spectrum, $H_\infty$ exhibits discrete eigenvalues embedded in the continuum. We develop two different approaches. First, within the framework of scattering theory, we explicitly solve the scattering problem and characterize the resonances as poles of the scattering matrix, proving that they approach the eigenvalues of $H_\infty$ inside the well. Second, we perform a rigorous spectral analysis using the Stone formula to compute the asymptotic difference between the spectral densities of the two operators. We prove that the spectral projectors of $H_\alpha$ converge to those of $H_\infty$ with a convergence rate of $\alpha^{-1/2}$. Finally, a numerical study is presented to illustrate the behavior of the spectral density and the resonances for specific states.

Questa tesi indaga le proprietà matematiche e fisiche di un operatore Hamiltoniano quantistico unidimensionale $H_\alpha$, caratterizzato da una coppia di potenziali singolari a raggio zero di tipo delta di Dirac. L'obiettivo principale è lo studio di alcune importanti caratteristiche asintotiche di $H_\alpha$ al tendere all'infinito della forza dell'interazione $\alpha$. L'operatore limite, denotato con $H_\infty$, descrive un sistema disaccoppiato in tre regioni indipendenti con condizioni al bordo di Dirichlet alle interfacce. In questo limite emerge una fondamentale discrepanza spettrale: mentre $H_\alpha$ possiede uno spettro puramente assolutamente continuo, $H_\infty$ presenta autovalori discreti immersi nel continuo. Affrontiamo il problema attraverso due approcci differenti. In primo luogo, nel contesto della teoria dello scattering, risolviamo esplicitamente il problema di diffusione e caratterizziamo le risonanze come poli della matrice di scattering, dimostrando che esse tendono agli autovalori di $H_\infty$ all'interno della buca di potenziale. In secondo luogo, eseguiamo un'analisi spettrale rigorosa utilizzando la formula di Stone per calcolare la differenza asintotica tra le densità spettrali dei due operatori. Dimostriamo che i proiettori spettrali di $H_\alpha$ convergono a quelli di $H_\infty$ con una velocità di convergenza pari a $\alpha^{-1/2}$. Infine, viene presentato uno studio numerico per illustrare il comportamento della densità spettrale e delle risonanze per stati specifici.