Gamma hedging under market frictions: a linear-quadratic approach

In real trading environments, option dealers managing short–gamma portfolios face a fundamental trade–off: frequent rebalancing reduces risk exposures but generates substantial execution costs in the presence of market impact and liquidity constraints. While frictionless models imply that continuous delta hedging eliminates risk, real markets transform hedging into a dynamic cost–risk optimization problem. In this setting, it is not obvious whether active gamma hedging reduces total economic costs or merely shifts trading activity toward more expensive instruments. This thesis develops a tractable linear–quadratic control framework for delta–gamma hedging under market frictions. Portfolio sensitivities are modeled as controlled state variables, and execution costs are incorporated through quadratic penalties, preserving a linear feedback structure characterized by Riccati equations. The framework accommodates time-varying Greeks, stochastic exposure dynamics and transient market impact while remaining analytically interpretable and computationally efficient. Numerical experiments reveal a nonlinear trade–off between risk reduction and execution costs. Aggressive gamma control stabilizes exposures but increases option turnover and deteriorates median performance. In contrast, moderate gamma management reduces tail risk and mitigates extreme rebalancing episodes without materially increasing average hedging costs. Stress scenarios with higher volatility and larger exposures confirm that the primary economic value of gamma hedging in mitigating extreme risk episodes while preserving execution efficiency in stressed market conditions.

In contesti di trading reali, gli option dealer che gestiscono portafogli short--gamma affrontano un trade-off: ridurre le esposizioni al rischio tramite frequenti ribilanciamenti consente di stabilizzare il portafoglio, ma in presenza di impatto di mercato e vincoli di liquidità genera costi di esecuzione significativi. Se nei modelli privi di frizioni una strategia di delta hedging continua elimina il rischio, nei mercati reali la copertura diventa un problema dinamico di ottimizzazione costi--rischio. In questo contesto non è immediato stabilire se una gestione attiva del gamma riduca il costo complessivo della copertura oppure si limiti a spostare l’attività di trading verso strumenti più costosi. La tesi sviluppa un framework lineare--quadratico per la copertura delta--gamma in presenza di frizioni di mercato. Le greche di portafoglio sono modellizzate come variabili di stato controllate, mentre i costi di esecuzione sono incorporati tramite penalizzazioni quadratiche, preservando una struttura di retroazione lineare caratterizzata da equazioni di Riccati. Il modello consente di includere greche variabili nel tempo, dinamiche stocastiche delle esposizioni e impatto di mercato transiente, mantenendo al contempo trattabilità analitica e interpretabilità economica. Gli esperimenti numerici evidenziano un compromesso non lineare tra riduzione del rischio e costi di esecuzione. Un controllo del gamma eccessivamente aggressivo stabilizza rapidamente le esposizioni ma aumenta il turnover sulle opzioni, deteriorando la performance mediana. Al contrario, un regime moderato di gestione del gamma riduce il rischio di coda e attenua gli episodi di ribilanciamento estremo senza incrementare in modo significativo il costo medio della copertura. Scenari di stress, caratterizzati da maggiore volatilità e da esposizioni più elevate, confermano che il valore economico principale del gamma hedging risiede nella mitigazione degli episodi di rischio estremo, preservando al contempo l’efficienza di esecuzione in condizioni di mercato avverse.