On the regularity of weak solutions to Navier-Stokes equations under constant Navier boundary conditions

We study a three-dimensional Navier–Stokes problem in a cubic domain under Navier boundary conditions, with a constant flux c prescribed on two of the six faces of the cube. Starting from the results of a paper by Arioli-Falocchi-Gazzola, where the homogeneous boundary value problem was analyzed, we derive explicit bounds for the epochs of irregularity of the solution and for its enstrophy. Using two different approaches, we derive bounds on both the epochs of irregularity and the enstrophy of the solution in two distinct scenarios. The first approach applies to arbitrary initial enstrophies, but it is restricted to a small range of constant boundary fluxes. The second approach, in contrast, leads to an existence and local uniqueness and regularity result for all c, and to a global qualitative result, for sufficiently small enstrophies.

In questa tesi è stato analizzato un problema di Navier-Stokes tridimensionale nel dominio cubico (0,pi)^3 con condizioni al bordo di Navier e un flusso costante c su due delle sei facce del cubo. Si comincia richiamando alcuni dei risultati più importanti di un articolo di Arioli-Falocchi-Gazzola, in cui è stato studiato il problema con condizioni al bordo omogenee, per poi approfondire il caso non omogeneo. L'obiettivo è trovare limiti inferiori e superiori per gli intervalli di regolarità della soluzione e della sua enstrofia. Sono stati usati due approcci differenti che hanno portato a un risultato quantitativo e uno qualitativo. Il primo approccio determina un risultato quantitativo per ogni enstrofia iniziale ma solo per un piccoli flussi costanti c. Al contrario, la seconda strategia si basa su un'analisi qualitativa e permette di allargare l'intervallo di piccolezza dei flussi, deducendo due risultati: uno di esistenza, unicità e regolarità locali, e uno di esistenza globale, a patto di restringere l'intervallo di possibili enstrofie iniziali.