On the choice of the entropy function and iterative solver in structure-preserving discontinuous Galerkin methods for the Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov equation

The Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov equation is a partial differential equation, widely used in modelising phenomena that involve reaction-diffusion mechanisms. One of the possible applications is the modeling neurodegenerative diseases, such as Alzheimer’s and Parkinson’s disease, which are characterised by the propagation of misfolded proteins trough brain tissue. This thesis describes a structure-preserving Local Discontinuous Galerkin framework for the numerical approximation of the Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov equation, which relies on an entropy variable reformulation to guarantee that the discrete solution satisfies the suitable bounds at all times. Two aspects of the framework are investigated. First, we analyze the influence of the entropy transformation on the accuracy and robustness of the scheme, testing the Shannon–Boltzmann, Hellinger, and k-Fermi–Dirac functions as alternatives to the standard Fermi–Dirac transformation. Numerical experiments reveal that theoretical admissibility is not sufficient to guarantee practical performance. Indeed, the Hellinger transformation fails systematically on sharp-front solutions due to excessive numerical diffusion, while Shannon–Boltzmann entropic transformation converges with optimal rates but produces larger errors. The k-Fermi–Dirac family illustrates that performance depends jointly on the steepness of the transformation near w = 0 and on its asymptotic behavior. Second, we address the sensitivity of Newton’s method to the choice of initial guess by proposing and testing a "Warm-Start" iterative approach, which precedes Newton iterations with a small number of Richardson steps and a relaxed transition phase. Numerical tests demonstrate that this method improves robustness significantly in challenging regimes, particularly for large time steps and low polynomial degrees at a modest additional computational cost, while offering no advantage in long-time simulations where error accumulation dominates.

L’equazione di Fisher–Kolmogorov–Petrovsky–Piskunov è un’equazione alle derivate parziali ampiamente utilizzata per modellare fenomeni che coinvolgono meccanismi di reazione–diffusione. Una delle sue possibili applicazioni è la modellazione delle malattie neurodegenerative, quali il morbo di Alzheimer e il morbo di Parkinson, che sono caratterizzate dalla propagazione di proteine mal ripiegate attraverso il tessuto cerebrale. Questa tesi descrive un framework Local Discontinuous Galerkin a preservazione di struttura per l’approssimazione numerica dell’equazione di Fisher–Kolmogorov–Petrovsky–Piskunov, basato su una riformulazione in variabili entropiche al fine di garantire che la soluzione discreta soddisfi i vincoli appropriati in ogni istante di tempo. Vengono analizzati due aspetti del framework. In primo luogo, si studia l’influenza della trasformazione entropica sull’accuratezza e sulla robustezza dello schema, considerando come alternative alla trasformazione standard di Fermi–Dirac le funzioni di Shannon–Boltzmann, di Hellinger e la famiglia k-Fermi–Dirac. Gli esperimenti numerici mostrano che l’ammissibilità teorica non è sufficiente a garantire buone prestazioni pratiche. In particolare, la trasformazione di Hellinger fallisce sistematicamente nel caso di soluzioni con fronti ripidi a causa di un’eccessiva diffusione numerica, mentre la trasformazione entropica di Shannon–Boltzmann converge con ordini ottimali ma produce errori più elevati. La famiglia k-Fermi–Dirac evidenzia che le prestazioni dipendono congiuntamente dalla ripidità della trasformazione in prossimità di w = 0 e dal suo comportamento asintotico. In secondo luogo, si affronta la sensibilità del metodo di Newton rispetto alla scelta dell’approssimazione iniziale, proponendo e testando un approccio iterativo di tipo “Warm-start”, che precede le iterazioni di Newton con un numero ridotto di passi di Richardson e una fase di transizione rilassata. I test numerici dimostrano che tale metodo migliora significativamente la robustezza in regimi problematici, in particolare per passi temporali grandi e bassi gradi polinomiali, a fronte di un modesto costo computazionale aggiuntivo, mentre non offre vantaggi nelle simulazioni a lungo termine, nelle quali domina l’accumulo degli errori.