Multi-parameter quantum estimation

Quantum metrology studies how quantum mechanics constrains and can enhance the precision of parameter estimation. A metrological protocol prepares a probe state, encodes an unknown parameter through a parameter-dependent dynamics, and extracts information from repeated measurement outcomes. Precision is limited by Cramér–Rao inequalities: classically by the Fisher information of the induced statistical model, and quantum mechanically by the quantum Fisher information obtained by optimizing over measurements. Unlike the single-parameter case, multi-parameter estimation can be incompatible, as different parameters may require different optimal measurements. This thesis develops a local and constructive framework for quantum estimation in collective-spin magnetometry within the symmetric subspace. After introducing the quantum measurement formalism (projective measurements and POVMs) and the main tools of classical estimation, the quantum Fisher information matrix and the SLD quantum Cramér–Rao bound (QCRB) are derived. Attainability is analyzed in the multi-parameter setting, emphasizing the pure-state unitary regime and the weak-commutativity condition. An explicit tangentspace construction is presented to build POVMs that locally saturate the QCRB when compatibility holds. The method is applied to single- and two-parameter magnetometry. Coherent probes (SQL baseline), GHZ-type probes, symmetric Dicke probes, and variationally optimized symmetric probes are compared in the single-parameter case. In the two-parameter case, a second unitary encoding is introduced and locally optimal POVMs are constructed for representative probes (GHZ and balanced Dicke). Monte Carlo simulations validate local saturation by comparing empirical covariances and classical Fisher informations with the corresponding quantum bounds. Overall, the thesis links attainability conditions, explicit POVM design, and numerical verification, and motivates extensions to higher-dimensional parameter spaces and to non-unitary (open-system) encodings.

La metrologia quantistica studia come la meccanica quantistica vincoli e possa migliorare la precisione nella stima di parametri. Un protocollo metrologico prepara uno stato sonda, codifica un parametro ignoto tramite una dinamica dipendente dal parametro, ed estrae informazione da esiti di misura ripetuti. La precisione è limitata da disuguaglianze di tipo Cramér–Rao: nel caso classico dalla Fisher information del modello statistico indotto, e nel caso quantistico dalla quantum Fisher information ottenuta ottimizzando sulle misure. A differenza del caso a singolo parametro, la stima multi-parametro può essere incompatibile, poiché parametri diversi possono richiedere misure ottimali diverse. Questa tesi sviluppa un framework locale e costruttivo per la stima quantistica nella magnetometria a spin collettivi entro il sottospazio simmetrico. Dopo aver introdotto il formalismo delle misure quantistiche (misure proiettive e POVM) e i principali strumenti della stima classica, vengono derivati la matrice di quantum Fisher information e il bound di Cramér–Rao quantistico basato sugli SLD (QCRB). L’ottenibilità viene analizzata nel contesto multi-parametro, con enfasi sul regime unitario a stati puri e sulla condizione di weak commutativity. Viene presentata una costruzione esplicita basata sullo spazio tangente per costruire POVM che saturano localmente il QCRB quando la compatibilità è soddisfatta. Il metodo è applicato a scenari di magnetometria a uno e due parametri. Nel caso a singolo parametro si confrontano sonde coerenti (baseline SQL), sonde di tipo GHZ, sonde Dicke simmetriche e sonde simmetriche ottimizzate variazionalmente. Nel caso a due parametri si introduce una seconda codifica unitaria e si costruiscono POVM localmente ottimali per sonde rappresentative (GHZ e Dicke bilanciata). Simulazioni Monte Carlo validano la saturazione locale confrontando covarianze empiriche e Fisher information classiche con i corrispondenti bound quantistici. Nel complesso, la tesi collega condizioni di ottenibilità, progettazione esplicita di POVM e verifica numerica, e motiva estensioni a spazi di parametri di dimensione maggiore e a codifiche non unitarie (open-system), dove bound ultimi e ottenibilità possono differire.