Adaptive mesh strategies for physics-informed statistical models

This thesis is developed within the framework of Spatial Regression with Partial Differential Equation (SR-PDE) regularization, a methodology that combines statistical inference with differential operators and finite element discretization to model spatial phenomena. In this setting, the geometry of the computational mesh defines the approximation space of the estimator and therefore directly influences its statistical properties. The work investigates the role of mesh geometry in shaping the bias-variance trade-off of SR-PDE estimators. A metric-based adaptive mesh generation strategy is proposed to allocate degrees of freedom according to the spatial distribution of observations. The data-driven approach constructs a nodal density metric derived from inverse K-nearest neighbor density estimates, producing refined meshes in data-rich regions and coarser discretizations where measurements are sparse. The adaptive framework is implemented within a constrained Delaunay triangulation setting and compared with uniform and residual-based refinement strategies. Simulation studies on synthetic datasets show that, for a fixed number of degrees of freedom, data-driven adaptive meshes reduce the root mean squared error in comparison with uniform discretizations. The methodology is further validated through a real-world application concerning the estimation of the 0.95 conditional quantile of PM10 concentration over Northern Italy. Given the highly non-uniform distribution of monitoring stations, adaptive discretization allows the allocation of degrees of freedom to better reflect the spatial density of observations, while achieving predictive performance comparable to that of a fine uniform mesh at lower computational cost. Overall, the results highlight that mesh design should be regarded as an integral component of the inferential process in SR-PDE modeling, rather than as a purely numerical implementation detail.

Questa tesi si inserisce nel contesto della Regressione Spaziale con regolarizzazione mediante Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali (SR-PDE), una metodologia che combina inferenza statistica, operatori differenziali e discretizzazione agli elementi finiti per la modellazione di fenomeni spaziali. In questo ambito, la mesh determina lo spazio funzionale in cui viene ricercato lo stimatore, incidendo così sulle sue proprietà statistiche. Il lavoro analizza il ruolo della mesh nel determinare il trade-off bias-varianza degli stimatori SR-PDE. Viene proposta una strategia adattiva basata su tensori metrici che consente di distribuire i gradi di libertà in funzione della configurazione spaziale delle osservazioni. L’approccio guidato dai dati costruisce una metrica nodale basata sull’inverso di una stima di densità tramite K-nearest neighbors, producendo un raffinamento nelle regioni più dense e una discretizzazione più grossolana in quelle meno campionate. La procedura adattiva è implementata in un contesto di triangolazioni di Delaunay vincolate ed è confrontata con strategie di raffinamento uniforme e basate sul residuo. Le simulazioni su dati sintetici mostrano che, a parità di numero di gradi di libertà, le mesh adattive guidate dai dati riducono l’errore quadratico medio rispetto alle discretizzazioni uniformi. La metodologia è stata ulteriormente validata mediante un’applicazione relativa alla stima del quantile condizionale 0.95 della concentrazione di PM10 nell’Italia settentrionale. In presenza di una distribuzione fortemente non uniforme delle stazioni di monitoraggio, la discretizzazione adattiva consente di allocare i gradi di libertà in modo coerente con la densità spaziale delle osservazioni, ottenendo una capacità di stima comparabile a quella ottenuta con una mesh uniforme fine, ma con un costo computazionale inferiore. Nel complesso, i risultati evidenziano come la progettazione della mesh debba essere considerata una componente strutturale del processo inferenziale nel modello SR-PDE, e non un semplice dettaglio numerico di implementazione.